Переменные Мандельштама - Mandelstam variables

На этой диаграмме входят две частицы с импульсами p₁ и р₂, они каким-то образом взаимодействуют, и тогда две частицы с разным импульсом (p₃ и р₄) покинуть.

В теоретическая физика, то Переменные Мандельштама числовые величины, которые кодируют энергия, импульс, а углы частиц в процессе рассеяния в Лоренц-инвариантный мода. Они используются для процессов рассеяния двух частиц на две частицы. Переменные Мандельштама были впервые введены физиком Стэнли Мандельштам в 1958 г.

Если Метрика Минковского выбрано быть ${\displaystyle \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}$, переменные Мандельштама ${\displaystyle s,t,u}$ тогда определяются как

• ${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}\,}$
• ${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}\,}$
• ${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}\,}$

Где п₁ и п₂ являются четыре импульса входящих частиц и п₃ и п₄ - четыре импульса вылетающих частиц, и мы используем релятивистские единицы (c = 1).

s также известен как квадрат энергии центра масс (инвариантная масса ) и t также известен как квадрат четырехимпульсный передача.

Диаграммы Фейнмана

Письма ${\displaystyle s,t,u}$ также используются в терминах s-канал (космический канал), т-канал (временной канал), u-канал. Эти каналы представляют разные Диаграммы Фейнмана или различные возможные события рассеяния, когда взаимодействие включает обмен промежуточной частицей, квадрат четырех импульсов которой равен ${\displaystyle s,t,u}$, соответственно.

s-канал	т-канал	u-канал

Например, s-канал соответствует частицам 1,2, объединяющимся в промежуточную частицу, которая в конечном итоге распадается на 3,4: s-канал - единственный способ, которым резонансы и новые нестабильные частицы могут быть обнаружены при условии, что их время жизни достаточно велико, чтобы их можно было непосредственно обнаружить. Т-канал представляет собой процесс, в котором частица 1 излучает промежуточную частицу и становится конечной частицей 3, в то время как частица 2 поглощает промежуточную частицу и становится 4. U-канал - это Т-канал с ролью частиц 3,4 поменял местами.

Подробности

Релятивистский предел

В релятивистском пределе импульс (скорость) велик, поэтому использование релятивистское уравнение энергии-импульса, энергия становится по существу нормой импульса (например, ${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +{m_{0}}^{2}}$ становится ${\displaystyle E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$ ). Масса покоя также можно не учитывать.

Так, например,

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}\,}$

потому что ${\displaystyle p_{1}^{2}=m_{1}^{2}}$ и ${\displaystyle p_{2}^{2}=m_{2}^{2}.}$

Таким образом,

${\displaystyle s\approx \,}$	${\displaystyle 2p_{1}\cdot p_{2}\approx \,}$	${\displaystyle 2p_{3}\cdot p_{4}\,}$
${\displaystyle t\approx \,}$	${\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{3}\approx \,}$	${\displaystyle -2p_{2}\cdot p_{4}\,}$
${\displaystyle u\approx \,}$	${\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{4}\approx \,}$	${\displaystyle -2p_{3}\cdot p_{2}\,}$

Сумма

Обратите внимание, что

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,}$

куда ${\displaystyle m_{i}}$ это масса частицы ${\displaystyle i}$.

Доказательство

Чтобы доказать это, нам нужно использовать два факта:

• Квадрат четырех импульсов частицы - это квадрат ее массы,

${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)\,}$

• И сохранение четырехмерного импульса,

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}\,}$

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}$

Итак, для начала

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\,}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}\,}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}\,}$

Затем добавление трех при вставке квадратов масс приводит к

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}\,}$

Затем обратите внимание, что последние четыре члена дают в сумме ноль, используя сохранение четырехимпульса,

${\displaystyle 2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0\,}$

Итак, наконец,

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,}$

Смотрите также

• Диаграммы Фейнмана
• Бхабха рассеяние
• Мёллеровское рассеяние
• Комптоновское рассеяние

Рекомендации

• Мандельштам, С. (1958). «Определение амплитуды пион-нуклонного рассеяния из дисперсионных соотношений и унитарности». Физический обзор. 112 (4): 1344. Bibcode:1958ПхРв..112.1344М. Дои:10.1103 / PhysRev.112.1344. Архивировано из оригинал на 2000-05-28.
• Хальзен, Фрэнсис; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц. Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-88741-2.
• Перкинс, Дональд Х. (2000). Введение в физику высоких энергий (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-62196-8.