Сложение матрицы - Matrix addition

В математика, матрица сложения это операция добавления двух матрицы путем сложения соответствующих записей вместе. Однако есть и другие операции, которые также можно рассмотреть. дополнение для матриц, таких как прямая сумма и Сумма Кронекера.

Начальная сумма

Две матрицы должны иметь равное количество строк и столбцов для добавления.^[1] В этом случае сумма двух матриц А и B будет матрицей с таким же количеством строк и столбцов, как А и B. Сумма А и B, обозначенный А + B,^[2] вычисляется путем добавления соответствующих элементов А и B:^[3][4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}$

Или более кратко (при условии, что А + B = C):^[5][6]

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

Точно так же можно вычесть одну матрицу из другой, если они имеют одинаковые размеры. Разница А и B, обозначенный А − B,^[2] вычисляется вычитанием элементов B из соответствующих элементов А, и имеет те же размеры, что и А и B. Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}$

Прямая сумма

Другая операция, которая используется реже, - это прямая сумма (обозначается ⊕). Обратите внимание, что сумма Кронекера также обозначается ⊕; контекст должен прояснять использование. Прямая сумма любой пары матриц А размера м × п и B размера п × q матрица размера (м + п) × (п + q) определяется как ^[7][3]

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Прямая сумма матриц - это особый вид блочная матрица. В частности, прямая сумма квадратных матриц есть блочно-диагональная матрица.

В матрица смежности союза непересекающихся графики (или мультиграфы ) - прямая сумма их матриц смежности. Любой элемент в прямая сумма из двух векторные пространства матриц можно представить как прямую сумму двух матриц.

В целом прямая сумма п матрицы это:^[3]

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}\,\!}$

где нули на самом деле являются блоками нулей (то есть нулевыми матрицами).

Сумма Кронекера

Основная статья: Сумма Кронекера

Сумма Кронекера отличается от прямой суммы, но также обозначается ⊕. Он определяется с помощью Кронекер продукт ⊗ и нормальное матричное сложение. Если А является п-от-п, B является м-от-м и ${\displaystyle \mathbf {I} _{k}}$ обозначает k-от-k единичная матрица тогда сумма Кронекера определяется как:

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

Смотрите также

• Умножение матриц
• Сложение вектора

Заметки

1. Элементарная линейная алгебра, Роррес Антон 10e p53
2. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-07.
3. Липшуц и Липсон. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFLipschutzLipson (Помогите)
4. Riley, K.F .; Hobson, M.P .; Бенс, С.Дж. (2010). Математические методы для физики и техники. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86153-3.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Матрица сложения». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-07.
6. "Нахождение суммы и разности двух матриц | Студенческая алгебра". course.lumenlearning.com. Получено 2020-09-07.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Матричная прямая сумма». MathWorld.

использованная литература

• Lipschutz, S .; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра. Обзорная серия Шаума. ISBN  978-0-07-154352-1.

внешние ссылки

• Прямая сумма матриц в PlanetMath.
• Абстрактная чушь: прямая сумма линейных преобразований и прямая сумма матриц
• Исходная библиотека по математике: арифметические матричные операции
• Матричная алгебра и R