Измеримая функция - Measurable function

В математика и в частности теория меры, а измеримая функция является функцией между базовыми наборами двух измеримые пространства сохраняющий структуру пространств: прообраз любой измеримый множество измеримо. Это прямая аналогия с определением, что a непрерывный функция между топологические пространства сохраняет топологическая структура: прообраз любого открытый набор открыт. В реальный анализ, измеримые функции используются в определении Интеграл Лебега. В теория вероятности, измеримая функция на вероятностное пространство известен как случайная переменная.

Формальное определение

Позволять ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ и ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$ быть измеримыми пространствами, что означает, что ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ комплекты оснащены соответствующими ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle \Sigma }$ и ${\displaystyle \mathrm {T} }$. Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется измеримой, если для каждого ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ прообраз ${\displaystyle E}$ под ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle \Sigma }$; т.е. ${\displaystyle \forall E\in \mathrm {T} }$

${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma .}$

Это, ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma }$, где ${\displaystyle \sigma (f)}$ это σ-алгебра, порожденная f. Если ${\displaystyle f:X\to Y}$ - измеримая функция, запишем

${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$

чтобы подчеркнуть зависимость от ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle \Sigma }$ и ${\displaystyle \mathrm {T} }$.

Варианты использования термина

Выбор ${\displaystyle \sigma }$-алгебры в приведенном выше определении иногда неявны и оставлены до контекста. Например, для ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$, ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$, или другие топологические пространства, Борелевская алгебра (содержащий все открытые множества) - обычный выбор. Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно вещественные по отношению к алгебре Бореля.^[1]

Если значения функции лежат в бесконечномерное векторное пространство, другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и Измеримость Бохнера, существует.

Известные классы измеримых функций

• Случайные переменные по определению являются измеримыми функциями, определенными на вероятностных пространствах.
• Если ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ и ${\displaystyle (Y,T)}$ находятся Борелевские пространства, измеримая функция ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ также называется Функция Бореля. Непрерывные функции - это функции Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция - это почти непрерывная функция; увидеть Теорема Лузина. Если борелевская функция оказывается частью некоторой карты ${\displaystyle Y{\xrightarrow {~\pi ~}}X}$, это называется Секция Бореля.
• А Измеримый по Лебегу функция - измеримая функция ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })}$, где ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ это ${\displaystyle \sigma }$-алгебра измеримых множеств по Лебегу и ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }}$ это Борелевская алгебра на сложные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Измеримые по Лебегу функции представляют интерес математический анализ потому что они могут быть интегрированы. В этом случае ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f}$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$ измеримо для всех ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. Это также эквивалентно любому из ${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$ измерить для всех ${\displaystyle \alpha }$, или прообраз любого открытого множества, подлежащего измерению. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, функции, интегрируемые по Риману, и функции ограниченной вариации - все они измеримы по Лебегу.^[2] Функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ измеримо, если измеримы действительная и мнимая части.

Свойства измеримых функций

• Сумма и произведение двух измеримых комплексных функций измеримы.^[3] То же самое и с частным, пока нет деления на ноль.^[1]
• Если ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ и ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ измеримыми функциями, то и их композиция ${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3})}$.^[1]
• Если ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ и ${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$ измеримые функции, их состав ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ не должно быть ${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$-измеримо, если ${\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}}$. В самом деле, две функции, измеримые по Лебегу, могут быть построены таким образом, чтобы их композиция не измерима по Лебегу.
• (Точечно) супремум, инфимум, предел высшего, и ограничивать низший последовательности (т. е. счетного числа) действительных измеримых функций также измеримы.^[1][4]
• В точечно предел последовательности измеримых функций ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ измеримо, где ${\displaystyle Y}$ - метрическое пространство (наделенное алгеброй Бореля). В общем случае это неверно, если ${\displaystyle Y}$ неметризуемо. Обратите внимание, что соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более строгих условий, чем поточечная сходимость, таких как равномерная сходимость.^[5][6]

Неизмеримые функции

Функции с действительными значениями, встречающиеся в приложениях, обычно поддаются измерению; однако доказать существование неизмеримых функций несложно. Такие доказательства опираются на аксиома выбора по существу, в том смысле, что Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В любой мере пространство ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ с неизмеримое множество ${\displaystyle A\subset X}$, ${\displaystyle A\notin \Sigma }$, можно построить неизмеримую индикаторная функция:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ оснащен обычным Борелевская алгебра. Это неизмеримая функция, поскольку прообраз измеримого множества ${\displaystyle \{1\}}$ неизмеримый ${\displaystyle A}$.  

Другой пример: любая непостоянная функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ неизмерима относительно тривиального ${\displaystyle \sigma }$-алгебра ${\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,X\}}$, так как прообраз любой точки в диапазоне представляет собой собственное непустое подмножество ${\displaystyle X}$, который не является элементом тривиального ${\displaystyle \Sigma }$.

Смотрите также

• Векторные пространства измеримых функций: ${\displaystyle L^{p}}$ пробелы
• Сохраняющая меру динамическая система

Заметки

1. Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа. Джонс и Бартлетт. ISBN  0-7637-1497-6.
2. Карозерс, Н. Л. (2000). Реальный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-49756-6.
3. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения. Вайли. ISBN  0-471-31716-0.
4. Ройден, Х. Л. (1988). Реальный анализ. Прентис Холл. ISBN  0-02-404151-3.
5. Дадли, Р. М. (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00754-2.
6. Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений, Путеводитель автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN  978-3-540-29587-7.

внешние ссылки

• Измеримая функция в Энциклопедия математики
• Функция Бореля в Энциклопедия математики