Измерьте пространство - Measure space

А измерить пространство является основным объектом теория меры, филиал математика который изучает обобщенные представления о тома. Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( $σ$ -алгебра ) и метод, используемый для измерения ( мера ). Одним из важных примеров мерного пространства является вероятностное пространство.

А измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без конкретных мер.

Определение

Пространство меры - это тройка ${ displaystyle (X, { mathcal {A}}, mu),}$ где^[1]^[2]

${ displaystyle X}$ это набор
${ displaystyle { mathcal {A}}}$ это $σ$ -алгебра на съемочной площадке ${ displaystyle X}$
${ displaystyle mu}$ это мера на ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$

пример

Набор ${ Displaystyle X = {0,1 }}$ . В ${ textstyle sigma}$ -алгебра на конечных множествах, таких как приведенная выше, обычно набор мощности, который является множеством всех подмножеств (данного множества) и обозначается ${ textstyle { mathcal {P}} ( cdot)}$ . Придерживаясь этого соглашения, мы устанавливаем

{ Displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {P}} (X)}

В этом простом случае набор мощности можно записать явно:

{ displaystyle { mathcal {P}} (X) = { emptyset, {0 }, {1 }, X }.}

В качестве меры определим ${ textstyle mu}$ от

{ Displaystyle му ( {0 }) = му ( {1 }) = { гидроразрыва {1} {2}},}

так ${ textstyle mu (X) = 1}$ (по аддитивности мер) и ${ textstyle му ( emptyset) = 0}$ (по определению мер).

Это приводит к измерению пространства ${ textstyle (Х, { mathcal {P}} (X), mu)}$ . Это вероятностное пространство, поскольку ${ textstyle mu (X) = 1}$ . Мера ${ textstyle mu}$ соответствует Распределение Бернулли с участием ${ textstyle p = { frac {1} {2}}}$ , который, например, используется для моделирования честного подбрасывания монеты.

Важные классы пространств с мерой

Наиболее важные классы пространств мер определяются свойствами связанных с ними мер. Это включает в себя

Пространства вероятностей, пространство меры, где мера вероятностная мера^[1]
Пространства конечной меры, где мера конечная мера^[3]
${ displaystyle sigma}$ -пространства конечной меры, где мера ${ displaystyle sigma}$ -конечная мера^[3]

Другой класс пространств с мерой - это полные пространства мер.^[4]

использованная литература

^ ^а ^б Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод. Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 18. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ ^а ^б Аносов, Д. (2001) [1994], «Измерьте пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 33. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kosorok83-1] а ^б Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод. Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-2] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 18. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[eommeasurespace-3] а ^б Аносов, Д. (2001) [1994], «Измерьте пространство», Энциклопедия математики, EMS Press

[Klenke33-4] Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 33. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1]

[2]

[3]

[4]