Ядро Мелера - Mehler kernel

В Ядро Мелера комплексная функция, которая оказывается пропагатор из квантовый гармонический осциллятор.

Формула Мелера

Mehler  (1866 ) определил функцию^[1]

${\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{(1-\rho ^{2})}}\right)~,}$

и показал в модернизированных обозначениях^[2] что его можно расширить с точки зрения Полиномы Эрмита ЧАС(.) на основе весовой функции exp (-Икс²) как

${\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.}$

Этот результат в модифицированной форме полезен в квантовой физике, теории вероятностей и гармоническом анализе.

Физическая версия

В физике фундаментальное решение, (Функция Грина ), или же пропагатор гамильтониана для квантовый гармонический осциллятор называется Ядро Мелера. Он обеспечивает фундаментальное решение --- самое общее решение^[3] φ(Икс,т) к

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.}$

Ортонормированные собственные функции оператора D являются Функции Эрмита,

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},}$

с соответствующими собственными значениями (2п+1), предлагая частные решения

${\displaystyle \varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.}$

Таким образом, общее решение представляет собой их линейную комбинацию; при установке в исходное состояние ф (х, 0), общее решение сводится к

${\displaystyle \varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,}$

где ядро K имеет отделимое представление

${\displaystyle K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.}$

Используя формулу Мелера, получаем

${\displaystyle \displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp {4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}}~.}$

Подставив это в выражение для K со значением exp (−2т) за ρ, Ядро Мелера наконец читает

${\displaystyle K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp {\Bigl (}-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+{\text{cosech}}(2t)~xy{\Bigr )}.}$

Когда т = 0, переменные Икс и у совпадают, что дает предельную формулу, необходимую по начальному условию,

${\displaystyle K(x,y;0)=\delta (x-y)~.}$

В качестве фундаментального решения ядро ​​является аддитивным,

${\displaystyle \int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.}$

Это также связано с симплектической структурой вращения ядра K.^[4]

Версия вероятности

Результат Мелера также можно связать с вероятностью. Для этого переменные следует масштабировать как Икс → Икс/√2, у → у/√2, чтобы перейти от полиномов Эрмита «физика» ЧАС(.) (с весовой функцией exp (-Икс²)) к "вероятностным" многочленам Эрмита Он(.) (с весовой функцией exp (-Икс² / 2)). Потом, E становится

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}$

Левая часть здесь р (х, у) / р (х) р (у) куда р (х, у) это двумерная гауссова плотность вероятности функция для переменных х, у с нулевым средним и единичным отклонением

${\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,}$

и р (х), р (у) соответствующие плотности вероятности Икс и у (оба стандартные нормальные).

Далее следует обычно цитируемая форма результата (Kibble 1945).^[5]

${\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.}$

Это разложение легче всего получить, используя двумерное преобразование Фурье р (х, у), который

${\displaystyle c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2})/2)~.}$

Это может быть расширено как

${\displaystyle \exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.}$

Обратное преобразование Фурье немедленно дает приведенную выше формулу разложения.

Этот результат можно распространить на многомерный случай (Kibble 1945, Slepian 1972,^[6] Хёрмандер 1985 ^[7]).

Дробное преобразование Фурье

Основная статья: Дробное преобразование Фурье

Поскольку функции Эрмита ψ_п ортонормированы собственные функции преобразования Фурье,

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,}$

в гармонический анализ и обработка сигналов, они диагонализируют оператор Фурье,

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$

Таким образом, непрерывное обобщение для настоящий угол α легко определить (Винер, 1929;^[8] Кондон, 1937^[9]), дробное преобразование Фурье (FrFT), с ядром

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$

Это непрерывное семейство линейных преобразований, обобщающих преобразование Фурье, такое, что для α = π/2, она сводится к стандартному преобразованию Фурье, а для α = −π/2 обратному преобразованию Фурье.

Формула Мелера для ρ = exp (−iα), таким образом, непосредственно обеспечивает

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.}$

Квадратный корень определяется так, что аргумент результата лежит в интервале [-π /2, π /2].

Если α является целым числом, кратным π, то указанное выше котангенс и косеканс функции расходятся. в предел, ядро ​​переходит в Дельта-функция Дирака в подынтегральном выражении δ (х-у) или же δ (х + у), за α ан четным или нечетным несколько из π, соответственно. С ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}}$[ж ] = ж(−Икс), ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$[ж ] должно быть просто ж(Икс) или же ж(−Икс) за α четное или нечетное кратное π, соответственно.

Смотрите также

• Представление осциллятора # Гармонический осциллятор и функции Эрмита
• Тепловое ядро
• Полиномы Эрмита
• Функции параболического цилиндра
• Многочлен Лагерра # формула Харди-Хилля

Рекомендации

1. Мелер, Ф. Г. (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von Bellybig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке) (66): 161–176, ISSN  0075-4102, ERAM  066.1720cj (см. стр. 174, уравнение (18) и стр. 173, уравнение (13))
2. Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции. Vol. II, Макгроу-Хилл (сканировать:   стр.194 10.13 (22) )
3. Паули, В., Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Дуврские книги по физике, 2000 г.) ISBN  0486414620 ; См. Раздел 44.
4. В квадратичная форма в своей экспоненте с точностью до -1/2 раз включает простейшие (унимодулярные, симметричные) симплектическая матрица в Sp (2, ℝ). То есть,

   ${\displaystyle (x,y){\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}}~,~}$ куда

   ${\displaystyle {\mathbf {M} }\equiv {\text{cosech}}(2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)&-1\\-1&\cosh(2t)\end{pmatrix}}~,}$

   поэтому он сохраняет симплектическую метрику,

   ${\displaystyle {\mathbf {M} }^{\text{T}}~{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~{\mathbf {M} }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~.}$

5. Киббл, В. Ф. (1945), "Расширение теоремы Мелера о многочленах Эрмита", Proc. Cambridge Philos. Soc., 41: 12–15, Дои:10.1017 / S0305004100022313, МИСТЕР  0012728
6. Слепян, Дэвид (1972), "О симметризованной степени Кронекера матрицы и расширениях формулы Мелера для многочленов Эрмита", Журнал СИАМ по математическому анализу, 3 (4): 606–616, Дои:10.1137/0503060, ISSN  0036-1410, МИСТЕР  0315173
7. Хёрмандер, Ларс (1995). «Симплектическая классификация квадратичных форм и общие формулы Мелера». Mathematische Zeitschrift. 219: 413–449. Дои:10.1007 / BF02572374.
8. Винер, N (1929), "Эрмитовы многочлены и анализ Фурье", Журнал математики и физики 8: 70–73.
9. Кондон, Э. У. (1937). «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки 23, 158–164. онлайн

• Николь Берлин, Эзра Гетцлер и Мишель Вернь (2013). Тепловые ядра и операторы Дирака, (Springer: Grundlehren Text Editions) Мягкая обложка ISBN  3540200622
• Лоук, Дж. Д. (1981). «Расширение формулы Киббла-Слепяна для полиномов Эрмита с использованием методов бозонных операторов». Успехи в прикладной математике. 2 (3): 239–249. Дои:10.1016/0196-8858(81)90005-1.
• Х. М. Шривастава и Дж. П. Сингхал (1972). «Некоторые расширения формулы Мелера», Proc. Амер. Математика. Soc. 31: 135–141. (онлайн )