Мин Антус разложение тригонометрических функций в бесконечный ряд - Ming Antus infinite series expansion of trigonometric functions - Wikipedia

Рис.1: Модель Мин Анту

Рис. 3: Мин Анту независимо открыл каталонские числа.

Разложение в бесконечный ряд тригонометрических функций Мин Анту. Мин Анту, придворный математик Династия Цин проделал большую работу над бесконечным расширение серии из тригонометрические функции в своем шедевре Geyuan Milü Jiefa (Быстрый метод рассечения круга и определения точного соотношения круга). Мин Анту построил геометрические модели на основе большой дуги окружности и n-го разреза большой дуги. На рис. 1 AE главная хорда дуги ABCDE, и AB, до н.э, CD, DE - его n-е равные отрезки. Если аккорд AE = у, аккорд AB = до н.э = CD = DE = Икс, стояла задача найти аккорд у как разложение хорды в бесконечный рядИкс. Он изучил случаи п = 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 и 10000 подробно в 3 и 4 томах Гейюан Милю Джифа.

Историческое прошлое

В 1701 году в Китай прибыл французский миссионер-иезуит Пьер Жарту (1668-1720), который принес с собой три бесконечных ряда разложения тригонометрических функций. Исаак Ньютон и Дж. Грегори:^[1]

{ displaystyle pi = 3 left (1 + { frac {1} {4 cdot 3!}} + { frac {3 ^ {2}} {4 ^ {2} cdot 5!}} + { frac {3 ^ {2} cdot 5 ^ {2}} {4 ^ {3} cdot 7!}} + cdots right)}

{ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}

{ displaystyle operatorname {vers} x = { frac {x ^ {2}} {2!}} - { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {6 }} {6!}} + Cdots.}

Эти бесконечные ряды вызвали большой интерес у китайских математиков, поскольку вычисление $π$ эти «быстрые методы» включают только умножение, сложение или вычитание, что намного быстрее, чем классический Π алгоритм Лю Хуэя который включает извлечение квадратного корня. Однако Жарту не принес с собой метода вывода этих бесконечных рядов. Мин Анту подозревал, что европейцы не хотят делиться своими секретами, и поэтому он был настроен над этим работать. Он работал время от времени в течение тридцати лет и закончил рукопись под названием Гейюан Милю Джифа. Он создал геометрические модели для получения тригонометрических бесконечных рядов и не только нашел метод вывода трех упомянутых бесконечных рядов, но также открыл еще шесть бесконечных рядов. В процессе он обнаружил и применил Каталонские числа.

Двухсегментный аккорд

Рис.2: Геометрическая модель двухсегментной хорды Мин Анту

На рисунке 2 представлена модель двухсегментного хорды Мин Анту. Дуга BCD является частью круга с единицей (г = 1) радиус. ОБЪЯВЛЕНИЕ главный аккорд, дуга BCD делится пополам в C, проведем прямые BC, CD, пусть BC = CD =Икс и пусть радиус AC = 1.

По-видимому, ${ displaystyle BD = 2x-GH}$ ^[2]

Пусть EJ = EF, FK = FJ; продолжим BE прямо на L, и пусть EL = BE; сделайте BF = BE, поэтому F встроен в AE. Расширенный BF до M, пусть BF = MF; соединить LM, LM, очевидно, проходит через точку C. Перевернутый треугольник BLM вдоль оси BM в треугольник BMN, такой что C совпадает с G, и точка L совпадает с точкой N. Инвертировать треугольник NGB вдоль оси BN в треугольник; очевидно, BI = BC.

{ displaystyle AB: BC: CI = 1: x: x ^ {2}}

BM делит CG пополам и пусть BM = BC; присоединиться к GM, CM; нарисуйте CO = CM для перехвата BM в точке O; сделать МП = МО; сделать NQ = NR, R - пересечение BN и AC. ∠EBC = 1/2 ∠CAE = 1/2 ∠EAB; ${ displaystyle поэтому}$ ∠EBM = ∠EAB; таким образом, у нас есть ряд похожих треугольников: ABE, BEF, FJK, BLM, CMO, MOP, CGH и треугольник CMO = треугольник EFJ;^[3]

{ displaystyle AB: BE: EF: FJ: JK = 1: p: p ^ {2}: p ^ {3}: p ^ {4}}

{ displaystyle 1: BE = BE: EF;}

а именно

{ displaystyle EF = БЫТЬ ^ {2}}

{ displaystyle 1: BE ^ {2} = x: GH}

Так ${ displaystyle GH = x cdot BE ^ {2} = xp ^ {2}}$ ,

и ${ displaystyle BD = 2x-xp ^ {2}}$

Потому что воздушные змеи ABEC и BLIN похожи.^[3]

{ Displaystyle EF = LC = CM = MG = NG = IN}

{ Displaystyle LM + MN = CM + MN + IN = CI + OP = JK + CI}

{ displaystyle , следовательно, AB: (BE + EC) = BL: (LM + MN)}

и

{ displaystyle AB: BL = BL: (CI + JK)}

Позволять

{ displaystyle BL = q}

{ displaystyle AB: BL: (CI + JK) = 1: q: q ^ {2}}

{ displaystyle JK = p ^ {4}}

{ Displaystyle CI = у ^ {2}}

{ Displaystyle CI + JK = q ^ {2} = BL ^ {2} = (2BE) ^ {2} = (2p) ^ {2} = 4p ^ {2}}

Таким образом ${ displaystyle q ^ {2} = 4p ^ {2}}$ или же ${ displaystyle p = { frac {q} {2}}}$

Дальше:

{ displaystyle CI + JK = x ^ {2} + p ^ {4} = q ^ {2}}

.

{ displaystyle x ^ {2} + { frac {q ^ {4}} {16}} = q ^ {2},}

тогда

{ displaystyle x ^ {2} = q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}}

Возведите приведенное выше уравнение в квадрат с обеих сторон и разделите на 16:^[4]

{ displaystyle { frac {(x ^ {2}) ^ {2}} {16}} = { frac {(q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}) ^ {2}} {16}} = sum _ {j = 0} ^ {2} (- 1) ^ {j} {2 choose j} { frac {q ^ {2 (2 + j)} } {16 ^ {j}}}}

{ displaystyle { frac {x ^ {4}} {16}} = { frac {q ^ {4}} {16}} - { frac {q ^ {6}} {128}} + { гидроразрыв {q ^ {8}} {4096}} {16}}

И так далее

{ displaystyle { frac {x ^ {2n}} {16 ^ {n-1}}} = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} {n choose j} { гидроразрыва {q ^ {2 (n + j)}} {16 ^ {n + j-1}}}}

.^[5]

Сложите следующие два уравнения, чтобы исключить ${ displaystyle q ^ {4}}$ Предметы:

{ displaystyle x ^ {2} = q ^ {2} - { frac {q ^ {4}} {16}}}

{ displaystyle { frac {x ^ {4}} {16}} = {{ frac {q ^ {4}} {16}} - { frac {2q ^ {6}} {16 ^ {2} }} + { frac {q ^ {8}} {4096}}} {16}}

{ displaystyle x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} = q ^ {2} - { frac {q ^ {6}} {128}} + { frac {q ^ {8}} {4096}}}

{ displaystyle x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} + { frac {2x ^ {6}} {16 ^ {2}}} = q ^ {2} - { frac {5q ^ {8}} {4096}} + { frac {3q ^ {10}} {32768}} - { frac {q ^ {12}} {524288}},}

(после устранения

{ displaystyle q ^ {6}}

элемент).

......................................

{ displaystyle { begin {align} & x ^ {2} + { frac {x ^ {4}} {16}} + { frac {2x ^ {6}} {16 ^ {2}}} + { frac {5x ^ {8}} {16 ^ {3}}} + { frac {14x ^ {10}} {16 ^ {4}}} + { frac {42x ^ {12}} {16 ^ {5}}} [10pt] {} & + { frac {132x ^ {14}} {16 ^ {6}}} + { frac {429x ^ {16}} {16 ^ {7}} } + { frac {1430x ^ {18}} {16 ^ {8}}} + { frac {4862x ^ {20}} {16 ^ {9}}} [10pt] & {} + { frac {16796x ^ {22}} {16 ^ {10}}} + { frac {58786x ^ {24}} {16 ^ {11}}} + { frac {208012x ^ {26}} {16 ^ { 12}}} [10pt] & {} + { frac {742900x ^ {28}} {16 ^ {13}}} + { frac {2674440x ^ {30}} {16 ^ {14}}} + { frac {9694845x ^ {32}} {16 ^ {15}}} [10pt] & {} + { frac {35357670x ^ {34}} {16 ^ {16}}} + { frac {129644790x ^ {36}} {16 ^ {17}}} [10pt] & {} + { frac {477638700x ^ {38}} {16 ^ {18}}} + { frac {1767263190x ^ { 40}} {16 ^ {19}}} + { frac {6564120420x ^ {42}} {16 ^ {20}}} [10pt] & = q ^ {2} + { frac {62985} { 8796093022208}} д ^ {24} конец {выровнено}}}

Коэффициенты разложения числителей: 1,1,2,5,14,42,132 ... (см. Нижнюю строку исходного рисунка Мин Анту на рисунке II, читаемую справа налево) не что иное, как Каталонские числа , Мин Анту - первый человек в истории, открывший каталонское число.^[6]^[7]

Таким образом :

{ displaystyle q ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n}} {4 ^ {2n-2}}}}

^[8]^[9]

в котором ${ displaystyle C_ {n} = { frac {1} {n + 1}} {2n choose n}}$ является Каталонский номер. Мин Анту был пионером в использовании рекурсивных соотношений в китайской математике.^[10]

{ displaystyle C_ {n} = sum _ {k} (- 1) ^ {k} {nk select k + 1} C_ {nk}}

{ displaystyle потому что BC: CG: GH = AB: BE: EF = 1: p: p ^ {2} = x: px: p ^ {2} x}

{ displaystyle , следовательно, GH: = p ^ {2} x = ({ frac {q} {2}}) ^ {2} x = { frac {q ^ {2} x} {4}}}

заменен на ${ displaystyle BD = 2x-GH}$

Наконец он получил^[11]

{ displaystyle BD = 2x - { frac {x} {4}} q ^ {2}}

{ displaystyle = 2x- sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n + 1}} {4 ^ {2n-1}}}}

На рисунке 1 угол BAE = α, угол BAC = 2α × x = BC = sinα × q = BL = 2BE = 4sin (α / 2) × BD = 2sin (2α) Получено Ming Antu. ${ Displaystyle BD = 2x-x cdot BE ^ {2}}$

То есть

{ displaystyle sin (2 alpha) = 2 sin alpha - sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {( sin alpha) ^ {2n + 1} } {4 ^ {n-1}}}}

{ displaystyle = 2 sin ( alpha) - { frac {2 sin ( alpha) ^ {3}} {1+ cos ( alpha)}}}

${ displaystyle q ^ {2} = BL ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {x ^ {2n}} {4 ^ {2n-2} }}}$

Т.е.

{ displaystyle sin ({ frac { alpha} {2}}) ^ {2} = sum _ {n = 1} ^ { infty} C_ {n} { frac {(sin alpha) ^ {2n}} {4 ^ {2n}}}}

Трехсегментный аккорд

Рис. 3. Геометрическая модель Мин Анту для трехсегментной хорды.

Как показано на рис. 3, BE - это целая хорда дуги, BC = CE = DE = an - три дуги равных частей. Радиусы AB = AC = AD = AE = 1. Проведите прямые BC, CD, DE, BD, EC; пусть BG = EH = BC, Bδ = Eα = BD, тогда треугольник Cαβ = Dδγ; а треугольник Cαβ подобен треугольнику BδD.

В качестве таких:

{ displaystyle AB: BC = BC: CG = CG: GF}

,

{ Displaystyle BC: FG = BD: delta gamma}

{ Displaystyle 2BD = ВЕ + дельта альфа}

{ displaystyle 2BD- delta gamma = BE + BC}

${ displaystyle , следовательно, 2 times BD- delta gamma -BC = BE}$

В конце концов он получил

${ displaystyle BE = 3 times a-a ^ {3}}$ ^[12]^[13]

Четырехсегментный аккорд

Ming Antu 4-х сегментная модель аккорда

Позволять ${ displaystyle y_ {4}}$ обозначает длину основной хорды, и пусть длина четырех равных отрезков хорды = x,

${ displaystyle y_ {4} = 4 times a - { frac {10 times a ^ {3}} {4}} + { frac {14 times a ^ {5}} {4 ^ {3} }} - { frac {12 times a ^ {7}} {4 ^ {5}}}}$ +......

${ displaystyle 4a-10 times a ^ {3} / 4 + sum _ {n = 1} ^ { infty} (16C_ {n} -2C_ {n + 1}) times { frac {a ^ {2n + 1}} {4 ^ {2n-1}}}}$ .^[14]

Значение тригонометрии:

${ Displaystyle грех (4 раз альфа) = 4 раз грех ( альфа) -10 раз грех ^ {3} альфа}$ ${ displaystyle + sum _ {n = 1} ^ { infty} (16 times C_ {n} -2C_ {n + 1}) times { frac { sin ^ {2n + 3} ( alpha )} {4 ^ {n}}}}$ .^[14]

Пятисегментный аккорд

Ming Antu 5-сегментная модель аккорда

${ displaystyle y_ {5} = 5a-5a ^ {3} + a ^ {5}}$

то есть

{ Displaystyle грех (5 альфа) = 5 грех ( альфа) -20 грех ^ {3} ( альфа) +16 грех ^ {5} ( альфа)}

^[15]。

Десятисегментный аккорд

Схема аккордов Ming Antu из 10 сегментов

С этого момента Мин Анту перестал строить геометрическую модель, он выполнил свои вычисления чисто алгебраическим манипулированием бесконечными рядами.

Очевидно, десять сегментов можно рассматривать как составные 5 сегментов, каждый из которых, в свою очередь, состоит из двух подсегментов.

${ displaystyle , следовательно, y_ {10} = y_ {5} (y_ {2})}$

${ displaystyle y_ {10} (a) = 5 times y_ {2} -5 times (y_ {2}) ^ {3} + (y_ {2}) ^ {5}}$ ,

Он вычислил третью и пятую степень бесконечного ряда. ${ displaystyle y_ {2}}$ в приведенном выше уравнении и получили:

${ displaystyle y_ {10} (a) = 10 times a - { frac {165 times a ^ {3}} {4}} + { frac {3003 times a ^ {5}} {4 ^ {3}}} - { frac {21450 times a ^ {7}} {4 ^ {5}}}}$ +......^[16]^[17]

Стот сегментный аккорд

Схема аккордов сегмента Ming Antu 100

Факсимиле расчета 100-сегментного аккорда Мин Анту

Хорду сто сегментной дуги можно рассматривать как составные 10 сегментов - 10 подсегментов, thussustutde ${ displaystyle a = y_ {10}}$ в ${ displaystyle y_ {10}}$ , после манипуляций с бесконечными сериями он получил:

${ displaystyle y_ {100} = y_ {10} (a = y_ {10})}$

${ displaystyle { begin {align} y_ {100} (a) = & 100 times a-166650 times { frac {a ^ {3}} {4}} + 333000030 times { frac {a ^ { 5}} {4 times 16}} & - 316350028500 times { frac {a ^ {7}} {4 times 16 ^ {2}}} + 17488840755750 times { frac {a ^ {9 }} {4 times 16 ^ {3}}} + ldots end {выровнены}}}$ ^[17]^[18]

Тысяч сегментный аккорд

${ displaystyle y_ {1000} = y_ {100} (y_ {10})}$

${ displaystyle y_ {1000} (a) = 1000 times a-1666666500 times { frac {a ^ {3}} {4}} + 33333000000300 times { frac {a ^ {5}} {4 раз 16}} - 3174492064314285000 { frac {a ^ {7}} {4 times 16 ^ {2}}} +}$ ......^[17]^[19]

Аккорд из десяти тысяч сегментов

${ displaystyle y_ {10000} = 10000 times a - { frac {166666665000 times a ^ {3}} {4}} + { frac {33333330000000300 times a ^ {5}} {4 ^ {3} }} +}$ ............^[12]

Когда количество сегментов приближается к бесконечности

Получив бесконечную серию для n = 2,3,5,10,100,1000,10000 сегментов, Мин Анту перешел к рассмотрению случая, когда n стремится к бесконечности.

y100, y1000 и y10000 можно переписать как:

${ displaystyle y100 = 100a - { frac {(100a) ^ {3}} {24.002400240024002400}} + { frac {(100a) ^ {5}} {24.024021859697730358 times 80}} +}$ ..........

${ displaystyle y1000: = 1000a - { frac {(1000a) ^ {3}} {24.000024000024000024}} + { frac {(1000a) ^ {5}} {24.000240002184019680 times 80}} +}$ ..............

${ displaystyle y10000: = 10000a - { frac {(10000a) ^ {3}} {24.000000240000002400}} + { frac {(10000a) ^ {5}} {24.000002400000218400 times 80}} +}$ ..................

Он отметил, что, очевидно, когда n приближается к бесконечности, знаменатели 24,000000240000002400, 24,000002400000218400 × 80 приближаются к 24 и 24 × 80 соответственно, а когда n -> бесконечность, na (100a, 1000a, 1000a) становится длиной дуги; следовательно^[20]

${ displaystyle chord = arc - { frac {arc ^ {3}} {4 times 3!}} + { frac {arc ^ {5}} {4 ^ {2} times 5!}} - { frac {arc ^ {7}} {4 ^ {3} times 7!}} +}$ .....

${ displaystyle = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1} times arc ^ {2 times n-1}} {(4 ^ {n -1} times (2 times n-1)!)}}}$

Затем Мин Анту выполнил реверсию бесконечной серии и выразил дугу в терминах ее хорды.

^[20]

${ displaystyle arc: = chord + { frac {chord ^ {3}} {24}} + { frac {3 times chord ^ {5}} {640}} + { frac {5 times chord ^ { 7}} {7168}} +}$ ............