Теорема Миттаг-Леффлерса - Mittag-Lefflers theorem - Wikipedia

В комплексный анализ, Теорема Миттаг-Леффлера касается существования мероморфные функции с предписанным полюса. И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции как суммы частичные фракции. Это сестра Теорема факторизации Вейерштрасса, который утверждает существование голоморфные функции с предписанным нули. Он назван в честь Гёста Миттаг-Леффлер.

Теорема

Позволять ${\displaystyle D}$ быть открытый набор в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle E\subset D}$ а закрыто дискретный подмножество. Для каждого ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle E}$, позволять ${\displaystyle p_{a}(z)}$ быть полиномом от ${\displaystyle 1/(z-a)}$. Есть мероморфная функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle D}$ так что для каждого ${\displaystyle a\in E}$, функция ${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$ имеет только устранимая особенность в ${\displaystyle a}$. В частности, основная часть из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$ является ${\displaystyle p_{a}(z)}$.

Один из возможных вариантов доказательства следующий. Если ${\displaystyle E}$ конечно, достаточно взять ${\displaystyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$. Если ${\displaystyle E}$ не конечно, рассмотрим конечную сумму ${\displaystyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ куда ${\displaystyle F}$ конечное подмножество ${\displaystyle E}$. В то время как ${\displaystyle S_{F}(z)}$ не может сходиться как F подходы E, можно вычесть хорошо подобранные рациональные функции с полюсами вне D (предоставлено Теорема Рунге ) без изменения основных частей ${\displaystyle S_{F}(z)}$ и таким образом, чтобы гарантировать сходимость.

Пример

Предположим, что нам нужна мероморфная функция с простыми полюсами остаток 1 при всех натуральных числах. С обозначениями, как указано выше, позволяя

${\displaystyle p_{k}={\frac {1}{z-k}}}$

и ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$, Теорема Миттаг-Леффлера утверждает (неконструктивно) существование мероморфной функции ${\displaystyle f}$ с основной частью ${\displaystyle p_{k}(z)}$ в ${\displaystyle z=k}$ для каждого положительного целого числа ${\displaystyle k}$. Этот ${\displaystyle f}$ обладает желаемыми свойствами. Более конструктивно мы можем позволить

${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}}$.

Эта серия сходится нормально на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (как можно показать с помощью М-тест ) в мероморфную функцию с желаемыми свойствами.

Полюсные разложения мероморфных функций

Вот несколько примеров полюсных разложений мероморфных функций:

${\displaystyle \tan(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}}$

${\displaystyle \csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}}$

${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \sec ^{2}(z)={\dfrac {d}{dz}}\tan(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$

Смотрите также

• Теорема Римана – Роха
• Теорема Лиувилля
• Состояние Миттаг-Леффлера обратного предела
• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Функция Миттаг-Леффлера

Рекомендации

• Альфорс, Ларс (1953), Комплексный анализ (3-е изд.), McGraw Hill (опубликовано в 1979 г.), ISBN  0-07-000657-1.
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3.

внешняя ссылка

• "Теорема Миттаг-Леффлера", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Теорема Миттаг-Леффлера». PlanetMath.