Переменная двигателя - Motor variable

В математика, а функция моторной переменной это функция с аргументами и значениями в расщепленное комплексное число самолет, как функции комплексная переменная включать обычные сложные числа. Уильям Кингдон Клиффорд ввел термин мотор для кинематического оператора в его «Предварительном наброске бикватернионов» (1873 г.). Он использовал комплексные числа с расщепленными комплексными числами для скаляров в своей сплит-бикватернионы. Переменная двигателя здесь используется вместо расщепленная комплексная переменная благозвучия и традиций.

Например,

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

Функции моторной переменной предоставляют контекст для расширения реальный анализ и обеспечить компактное представление отображений плоскости. Однако эта теория далеко отстает от теории функций на обычной комплексной плоскости. Тем не менее, некоторые аспекты обычного комплексного анализа интерпретируются с помощью моторных переменных.

Элементарные функции моторной переменной

Позволять D = ${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in R\}}$, расщепленная комплексная плоскость. Следующие примеры функций ж иметь домен и диапазон в D:

Действие гиперболический версор ${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$ сочетается с перевод производить аффинное преобразование

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$. Когда c = 0, функция эквивалентна сжатие.

Функция возведения в квадрат не имеет аналогов в обычной комплексной арифметике. Позволять

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$ и обратите внимание, что ${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

В результате четыре квадранта отображаются в один, компонент идентичности:

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle zz^{*}=1\ }$ формирует гипербола единиц ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$. Таким образом взаимность

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

включает в себя гиперболу как опорную кривую в отличие от круга в C.

На расширенной комплексной плоскости имеется класс функций, называемый Преобразования Мебиуса:

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Используя концепцию проективная прямая над кольцом, проективная прямая P (D) формируется и действует группа омографий GL (2,D). В конструкции используются однородные координаты с компонентами комплексного числа с разделением.

На обычной комплексной плоскости Преобразование Кэли переносит верхнюю полуплоскость к единичный диск, ограничивая его. Отображение компонента идентичности U₁ в прямоугольник обеспечивает сопоставимое ограничивающее действие:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

где Т = {z = Икс + jу : |у| < Икс <1 или |у| < 2 – Икс когда 1 ≤ Икс <2}.

Exp, log и квадратный корень

В экспоненциальная функция несет весь самолет D в U₁:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$.

Таким образом, когда Икс = бj, затем e^Икс является гиперболическим версором. Для общей моторной переменной z = а + бj, есть

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$.

В теории функций двигательной переменной особое внимание следует обратить на функции квадратного корня и логарифма. В частности, плоскость расщепленных комплексных чисел состоит из четырех связанные компоненты и множество особых точек, не имеющих обратной: диагонали z = Икс ± Икс j, Икс ∈ р. В компонент идентичности, а именно {z : Икс > |у| }, это ассортимент функции возведения в квадрат и экспоненты. Таким образом, это домен функций квадратного корня и логарифма. Остальные три квадранта не принадлежат домену, потому что квадратный корень и логарифм определены как один к одному обратные функции возведения в квадрат и экспоненциальной функции.

Графическое описание логарифма D дано Motter & Rosa в их статье «Гиперболическое исчисление» (1998).

D-голоморфные функции

В Уравнения Коши – Римана которые характеризуют голоморфные функции на домен в комплексная плоскость имеют аналог для функций двигательной переменной. Подход к D-голоморфным функциям с использованием Производная Виртингера предоставлено Motter & Rossa:^[1] Функция ж = ты + j v называется D-голоморфный когда

${\displaystyle 0\ =\ ({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y})(u+jv)}$

${\displaystyle =\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

Рассматривая действительные и мнимые компоненты, D-голоморфная функция удовлетворяет

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

Эти уравнения были опубликованы^[2] в 1893 г. Георг Шефферс, поэтому они были названы «условиями Схефферса»^[3]

Сравнимый подход в гармоническая функция Теорию можно просмотреть в тексте Питера Дюрена^[4]Очевидно, что компоненты ты и v D-голоморфной функции ж удовлетворить волновое уравнение, связан с Д'Аламбер, тогда как компоненты C-голоморфных функций удовлетворяют Уравнение Лапласа.

Уроки Ла-Платы

На Национальный университет Ла-Платы в 1935 году Ж.К. Винно, специалист по конвергенции бесконечная серия, опубликовал четыре статьи о двигательной переменной для ежегодного университетского журнала.^[5] Он является единственным автором вводной, по остальным консультировался с руководителем своего отдела А. Дураньона и Ведия. В «Sobre las series de numeros complejos hiperbolicos» он говорит (стр. 123):

Эта система гиперболических комплексных чисел [моторных переменных] является прямая сумма двух полей изоморфна полю действительных чисел; это свойство позволяет объяснить теорию рядов и функций гиперболического комплексного переменного посредством использования свойств поля действительных чисел.

Затем он переходит, например, к обобщению теорем Коши, Абеля, Мертенса и Харди на область определения двигательной переменной.

В первой статье, цитируемой ниже, он рассматривает D-голоморфные функции и выполнение уравнения Даламбера их компонентами. Он называет прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям у = Икс и у = − Икс, изотропный прямоугольник так как его стороны находятся на изотропные линии Свое резюме он завершает следующими словами:

Изотропные прямоугольники играют фундаментальную роль в этой теории, поскольку они образуют области существования голоморфных функций, области сходимости степенных рядов и области сходимости функциональных рядов.

Винно завершил свою серию шестистраничной заметкой о приближении D-голоморфных функций в единичном изотропном прямоугольнике формулой Многочлены Бернштейна. Несмотря на то, что в этой серии есть несколько типографских ошибок, а также пара технических проблем, Винно удалось изложить основные направления теории, лежащие между реальным и обычным комплексным анализом. Текст особенно впечатляет как поучительный документ для студентов и преподавателей благодаря образцовой разработке из элементов. Более того, вся экскурсия основана на «ее отношении к Эмиль Борель Геометрия ", чтобы подтвердить его мотивацию.

Биреальная переменная

В 1892 г. Коррадо Сегре напомнил тессарин алгебра как бикомплексные числа.^[6] Естественно возникла подалгебра настоящих тессаринов, получившая название двумерные числа.

В 1946 г. У. Бенчивенга опубликовал эссе.^[7] на двойные числа и комплексные числа с расщеплением, где он использовал термин двумерное число. Он также описал некоторые аспекты теории функций двумерной переменной. Эссе изучали в Университет Британской Колумбии в 1949 году, когда Джеффри Фокс написал свою магистерскую диссертацию «Теория элементарных функций гиперкомплексного переменного и теория конформных отображений в гиперболической плоскости». На стр. 46 Фокс сообщает: «Бенчивенга показал, что функция двумерной переменной отображает гиперболическую плоскость в себя таким образом, что в тех точках, для которых производная функции существует и не обращается в нуль, гиперболические углы сохраняются в отображении ".

Г. Фокс приступает к предоставлению полярное разложение двумерной переменной и обсуждает гиперболическая ортогональность. Исходя из другого определения, он доказывает на странице 57.

Теорема 3.42: два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их единичные векторы являются взаимно отражениями друг друга в той или иной диагональной прямой через 0.

Фокс фокусируется на «билинейных преобразованиях» ${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$, где ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ являются двумерными константами. Чтобы справиться с сингулярностью, он увеличивает плоскость единственной точкой на бесконечности (стр. 73).

Среди его новых вкладов в теорию функций - концепция взаимосвязанная система. Фокс показывает это для биреала k удовлетворение

(а − б)² < |k| < (а + б)²

гиперболы

|z| = а² и |z - к| = b²

не пересекаются (образуют замкнутую систему). Затем он показывает, что это свойство сохраняется при билинейных преобразованиях двумерной переменной.

Полиномиальная факторизация

Два основных элемента вводной алгебры включают: факторизация многочленов и основная теорема алгебры. Принятие моторных переменных противоречит традиционным ожиданиям.^[8] Причина в том, что (D, +, ×) делает не сформировать уникальная область факторизации. Заменяющие конструкции для моторного самолета были предоставлены Poodiack и LeClair в 2009 году.^[9] Они доказывают три версии основной теоремы алгебры, в которых многочлен степени п имеет п² корни подсчет множественность. Чтобы обеспечить подходящую концепцию множественности, они создают матрицу, которая содержит все корни многочлена. Кроме того, их метод позволяет получить аналогичную теорему для многочленов с тессарин коэффициенты. Статья в Математический журнал колледжа использует термин «недоумение» для моторной переменной и термин «гиперболическое число» для тессарина. Базовый пример неуникальной факторизации:

${\displaystyle (z-1)(z+1)=z^{2}-1=(z-j)(z+j)}$

показывающий набор {1, −1, j, −j} из четырех корней до полинома второй степени. Другой пример:

${\displaystyle (z+2)(z+3)=z^{2}+5z+6=(z+{\frac {5}{2}}-{\frac {1}{2}}j)(z+{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}j)}$

В целом квадратичный многочлен с двумя действительными корнями можно разложить на множители двумя способами:

${\displaystyle a(z+{\frac {b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})(z+{\frac {b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})=az^{2}+bz+c=a(z+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}j)(z+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}j)}$

Компактификация

В мультипликативный обратный функция настолько важна, что предпринимаются крайние меры, чтобы включить ее в отображения дифференциальная геометрия. Например, комплексная плоскость сворачивается до Сфера Римана для обычной сложной арифметики. Для расщепленной комплексной арифметики a гиперболоид используется вместо сферы: ${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$ Как и в случае со сферой Римана, метод стереографическая проекция от п = (0, 0, 1) через т = (Икс, у, 0) в гиперболоид. Линия L = Pt параметризуется s в ${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$ так что это проходит п когда s равен нулю и т когда s является одним.

От ЧАС ∩ L это следует из того

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ so that}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

Если т на нулевой конус, тогда s = 2 и (2Икс, ±2Икс, - 1) горит ЧАС, противоположные точки (2Икс, ±2Икс, 1) составляют световой конус в бесконечности то есть изображение нулевого конуса при инверсии.

Обратите внимание, что для т с участием ${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$ s отрицательный. Подразумевается, что обратный луч через п к т указывает на ЧАС. Эти точки т находятся выше и ниже гиперболы, сопряженной с единичной гиперболой.

Компактификация должна быть завершена в P³р с участием однородные координаты (ш, х, у, г) где ш = 1 определяет аффинное пространство (х, у, г) использовал до сих пор. Гиперболоид ЧАС впитывается в проективную конику ${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$ который является компактное пространство.

Уолтер Бенц выполнил компактификацию, используя отображение Ханса Бека. Исаак Яглом проиллюстрировал двухэтапную компактификацию, как указано выше, но с комплексной плоскостью, касательной к гиперболоиду.^[10] В 2015 году Emanuello & Nolder выполнили компактификацию, сначала встроив моторный самолет в тор, а затем сделав его проективным, определив противоположные точки.^[11]

использованная литература

1. А.Э. Моттер и М.А.Ф. Роза (1998) "Гиперболическое исчисление", Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда 8(1):109–28
2. Георг Шефферс (1893) "Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen", Sitzungsberichte Sachs. Ges. Wiss, Math-Phys Klasse Бд 45 С. 828-42
3. Исаак Яглом (1988) Феликс Кляйн и Софус Ли, Эволюция идеи симметрии в девятнадцатом веке, Birkhäuser Verlag, п. 203
4. Питер Дурен (2004) Гармонические отображения на плоскости, стр. 3,4, Издательство Кембриджского университета
5. Vignaux, J.C. & A. Durañona y Vedia (1935) "Sobre la teoría de las funciones de una variable compleja hiperbólica", Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas, стр. 139–184, Национальный университет Ла-Платы, República Argentina
6. Дж. Бейли Прайс (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции, Марсель Деккер ISBN  0-8247-8345-X
7. Бенчивенга, У. (1946) "Sulla Rappresentazione Geometrica Della Algebre Doppie Dotate Di Modulo", Атти. Accad. Sci. Неаполь Сер (3) т.2 No 7
8. Обратите внимание, что аналогичные корректировки традиционных ожиданий необходимы для идеи квадратный корень из матрицы.
9. Poodiack, Роберт Д.; ЛеКлер, Кевин Дж. (Ноябрь 2009 г.). «Основные теоремы алгебры для недоумений». Математический журнал колледжа. MAA. 40 (5): 322–335. Дои:10.4169 / 074683409X475643. JSTOR  25653773.
10. Яглом, Исаак М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное описание геометрии Галилея и принцип относительности Галилея. Абэ Шеницер (переводчик). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90332-1.
11. Джон А. Эмануэльо и Крейг А. Нолдер (2015) «Проективная компактификация R^1,1 и его геометрия Мёбиуса », Комплексный анализ и теория операторов 9(2): 329–54

• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства-времени Минковского, Birkhäuser Verlag, Базель. Глава 7: Функции гиперболической переменной.