Майларовый баллон (геометрия) - Mylar balloon (geometry)

В геометрия, а майларовый воздушный шар это поверхность вращения. Хотя сфера - поверхность, охватывающая максимальное объем для данного площадь поверхности, вместо этого майларовый баллон максимизирует объем для данной образующей длина дуги. Он напоминает слегка приплюснутую сферу.

Форма приблизительно достигается путем надувания физического шара, состоящего из двух круглых листов гибкого неэластичного материала; например, популярный вид игрушечного шарика из алюминизированный пластик. Возможно, что парадоксально, площадь поверхности надутого воздушного шара меньше площади круглых листов. Это происходит из-за физического обжатия поверхности, которое увеличивается около обода.

«Майларовый шарик» - это название фигуры, данное У. Полсоном, который первым исследовал форму. Впоследствии термин был принят другими писателями. «Майлар» - торговая марка DuPont.

Определение

Положительной частью образующей баллона является функция z(Икс) где для заданной длины образующей а:

{ Displaystyle г (г) = 0}

{ displaystyle int _ {0} ^ {r} ! { sqrt {1 + z '(x) ^ {2}}} , dx , = a}

(то есть: задана длина образующей)

{ displaystyle int _ {0} ^ {r} ! 4 pi xz (x) , dx}

это максимум (т. е .: громкость максимальная)

Здесь радиус р определяется из ограничений.

Параметрическая характеристика

Параметрические уравнения для образующей воздушного шара радиуса r имеют вид:

{ displaystyle x (u) = r cos u; qquad z (u) = r { sqrt {2}} left [E (u, { frac {1} { sqrt {2}}}) - { frac {1} {2}} F (u, { frac {1} { sqrt {2}}}) right] { text {for}} u in [0, { frac { pi} {2}}] ,}

(куда E и F находятся эллиптические интегралы из второй и первый своего рода)

Измерение

«Толщина» τ шара (то есть расстояние поперек оси вращения) может быть определена путем вычисления ${ displaystyle 2z ({ frac { pi} {2}})}$ из параметрических уравнений выше. Толщина примерно

τ ≈ 0,599 · 2р.

Соотношение τ к р не зависит от размера воздушного шара.

Отношение длины дуги образующей a к радиусу шара приблизительно равно

а/р ≈ 1,3110. (в справке указано, что «a» - это радиус спущенного воздушного шара, «r» - радиус надутого воздушного шара)

В объем баллона определяется по формуле:

{ displaystyle V = { frac {2} {3}} pi ar ^ {2},}

куда а - длина дуги образующей).

или альтернативно:

{ displaystyle V = { frac {4} {3}} tau a ^ {2},}

где τ - толщина на оси вращения

Геометрия поверхности

Соотношение основные кривизны в каждой точке майларового шара ровно 2, что делает его интересным случаем Поверхность Вайнгартена. Более того, это единственное свойство полностью характеризует воздушный шар. Видно, что шар на оси вращения более плоский; эта точка фактически имеет нулевую кривизну в любом направлении.

Смотрите также

Проблема с бумажным пакетом