Нелинейный резонанс - Nonlinear resonance

В физика, нелинейный резонанс возникновение резонанс в нелинейная система. В нелинейном резонансе поведение системы - резонансные частоты и режимы - зависит от амплитуда из колебания, а для линейные системы это не зависит от амплитуды. Смешение мод в нелинейных системах называется резонансное взаимодействие.

Описание

Обычно следует различать два типа резонансов - линейные и нелинейные. С физической точки зрения они определяются тем, являются ли внешние сила совпадает с собственная частота системы (линейный и нелинейный резонанс соответственно). Колебательные моды могут взаимодействовать в резонансное взаимодействие когда сохраняются и энергия, и импульс взаимодействующих мод. Сохранение энергии означает, что сумма частот мод должна равняться нулю:

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1},}$

с возможно разными ${\displaystyle \omega _{i}=\omega (\mathbf {k} _{i}),}$ собственные частоты линейной части некоторой нелинейной уравнение в частных производных. В ${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$ это волновой вектор связанный с режимом; целые индексы ${\displaystyle i}$ быть индексами в гармоники Фурье - или собственные моды - видеть Ряд Фурье. Соответственно, условие частотного резонанса эквивалентно Диофантово уравнение со многими неизвестными. Проблема поиска их решений эквивалентна Десятая проблема Гильберта это доказано, что алгоритмически неразрешимо.

Основными понятиями и результатами теории нелинейных резонансов являются:^[1]

1. Использование дисперсионные соотношения ${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )}$ Появление в различных физических приложениях позволяет находить решения условия частотного резонанса.
2. Набор резонансов для данной дисперсионной функции и формы условий резонанса разбивается на непересекающиеся резонансные кластеры; динамику каждого кластера можно изучать независимо (в соответствующем масштабе времени). Их часто называют «связанными волнами», которые не могут взаимодействовать, в отличие от «свободных волн», которые могут. Известным примером является солитон из Уравнение КдВ: солитоны могут перемещаться друг сквозь друга, не взаимодействуя. При разложении на собственные моды высокочастотные моды солитона не взаимодействуют (не удовлетворяют уравнениям резонансное взаимодействие ), они «привязаны» к основному.^[2]
3. Каждый набор связанных мод (резонансный кластер) может быть представлен своим NR-диаграмма который представляет собой плоский граф особой структуры. Это представление позволяет однозначно восстановить 3a) динамическая система описание зависящего от времени поведения кластера; 3b) набор его полиномиальных законов сохранения; это обобщение Константы движения Мэнли – Роу. для простейших кластеров (триады и квартеты).
4. Аналитически решаются динамические системы, описывающие некоторые типы кластеров; эти точно решаемые модели.
5. Эти теоретические результаты могут быть использованы непосредственно для описания реальных физических явлений (например, внутрисезонных колебаний в атмосфере Земли) или различных волновых турбулентных режимов в теории волновая турбулентность. Еще много примеров можно найти в статье о резонансные взаимодействия.

Нелинейный резонансный сдвиг

Эффект складывания

Нелинейные эффекты может значительно изменить форму резонанс кривые гармонические осцилляторы. Прежде всего, резонансная частота. ${\displaystyle \omega }$ сдвигается от своего "естественного" значения ${\displaystyle \omega _{0}}$ в соответствии с формулой

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\kappa A^{2},}$

куда ${\displaystyle A}$ - амплитуда колебаний, а ${\displaystyle \kappa }$ - постоянная, определяемая ангармоническими коэффициентами. Во-вторых, форма резонансной кривой искажена (эффект складывания). Когда амплитуда (синусоидальной) внешней силы ${\displaystyle F}$ достигает критического значения ${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }}$ появляются нестабильности. Критическое значение дается формулой

${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }={\frac {4m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{3}}{3{\sqrt {3}}\kappa }},}$

куда ${\displaystyle m}$ - масса осциллятора и ${\displaystyle \gamma }$ - коэффициент затухания. Кроме того, появляются новые резонансы, в которых колебания с частотой, близкой к ${\displaystyle \omega _{0}}$ возбуждаются внешней силой с частотой, совершенно отличной от ${\displaystyle \omega _{0}.}$

Нелинейные частотные характеристики

Обобщенные функции частотной характеристики и нелинейные функции выходной частотной характеристики ^[3] позволяют пользователю принципиальным образом изучать сложное нелинейное поведение в частотной области. Эти функции выявляют резонансные гребни, гармонический эффекты интермодуляции и передачи энергии таким образом, чтобы пользователь мог связать эти термины из сложных нелинейных моделей с дискретным и непрерывным временем с частотной областью и наоборот.

Смотрите также

• Уравнение Дуффинга
• Волновая турбулентность

Примечания и ссылки

Примечания

1. Карташова, Е. (2010), Нелинейный резонансный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-76360-8
2. Янссен, П. А. Э. М. (2009). «О некоторых следствиях канонического преобразования в гамильтоновой теории волн на воде». J. Жидкий мех. 637: 1–44. Bibcode:2009JFM ... 637 .... 1J. Дои:10.1017 / S0022112009008131.
3. Billings S.A. "Нелинейная идентификация систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях". Вайли, 2013

Рекомендации

• Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN  0-08-021022-8, (твердая обложка). и ISBN  0-08-029141-4 (мягкое покрытие)
• Rajasekar, S .; Санджуан, М.А.Ф. (2016), Нелинейные резонансы (1-е изд.), Springer, ISBN  978-3-319-24886-8, (электронная книга)

внешняя ссылка

• Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Базельский университет, получено 27 октября 2010