Нормальный конус - Normal cone

Для нормальных конусов в вещественных векторных пространствах см. выпуклый конус.

В алгебраической геометрии нормальный конус C_ИксY подсхемы Икс схемы Y представляет собой схему, аналогичную нормальному расслоению или трубчатой ​​окрестности в дифференциальной геометрии.

Определение

Нормальный конус C_ИксY или же ${displaystyle C_{X/Y}}$ вложения я: Икс → Y, определяемый некоторым пучком идеалов я определяется как относительная спецификация

${displaystyle operatorname {Spec} _{X}(oplus _{n=0}^{infty }I^{n}/I^{n+1}).}$

Когда встраивание я является обычный нормальный конус - это нормальное расслоение, векторное расслоение на Икс соответствующая двойственному пучку я/я².

Если Икс является точкой, то нормальный конус и нормальное расслоение к нему также называют касательный конус и касательное пространство (Касательное пространство Зарисского ) к точке. Когда Y = Спецификация р аффинно, определение означает, что нормальный конус к Икс = Спецификация р/я это спецификация связанное градуированное кольцо из р относительно я.

Если Y это продукт Икс × Икс и вложение я это диагональное вложение, то нормальный пучок к Икс в Y это касательный пучок к Икс.

Нормальный конус (а точнее его проективный родственник) появляется в результате раздува. Именно пусть

${displaystyle pi :operatorname {Bl} _{X}Y=operatorname {Proj} _{Y}(oplus _{n=0}^{infty }I^{n}) o Y}$

быть взрывом Y вдоль Икс. Тогда по определению исключительный дивизор - это прообраз ${displaystyle E=pi ^{-1}(X)}$; какой проективный конус из ${displaystyle oplus _{0}^{infty }I^{n}otimes _{{mathcal {O}}_{Y}}{mathcal {O}}_{X}=oplus _{0}^{infty }I^{n}/I^{n+1}}$. Таким образом,

${displaystyle E=mathbb {P} (C_{X}Y)}$.

Глобальные разделы нормального пакета классифицируют вложенные бесконечно малые деформации из Y в Икс; существует естественная биекция между множеством замкнутых подсхем Y ×_k D, плоский над кольцом D двойных чисел и имея Икс как специальное волокно, и ЧАС⁰(Икс, N_Икс Y).^[1]

Характеристики

Если ${displaystyle i:Xhookrightarrow Y,,j:Yhookrightarrow Z}$ находятся регулярное вложение, тогда ${displaystyle jcirc i}$ является регулярным вложением и существует естественная точная последовательность векторных расслоений на Икс:^[2]

${displaystyle 0 o N_{X/Y} o N_{X/Z} o i^{*}N_{Y/Z} o 0}$.

Если ${displaystyle Y_{i}hookrightarrow X}$ являются регулярными вложениями коразмерностей ${displaystyle c_{i}}$ и если ${displaystyle W:=igcap _{i}Y_{i}hookrightarrow X}$ является регулярным вложением коразмерности ${displaystyle sum c_{i}}$, тогда^[3]

${displaystyle N_{W/X}=igoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}}$.

В частности, если ${displaystyle X o S}$ это гладкий морфизм, то нормальный пучок в диагональное вложение${displaystyle Delta :Xhookrightarrow X imes _{S}cdots imes _{S}X}$ (р-кратный) представляет собой прямую сумму р - 1 экз. относительный касательный пучок ${displaystyle T_{X/S}}$.

Если ${displaystyle Xhookrightarrow X'}$ является закрытым погружением и если ${displaystyle Y' o Y}$ плоский морфизм такой, что ${displaystyle X'=X imes _{Y}Y'}$, тогда^{[4][нужна цитата ]}

${displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y} imes _{X}X'.}$

Если ${displaystyle X o S}$ это гладкий морфизм и ${displaystyle Xhookrightarrow Y}$ является регулярным вложением, то существует естественная точная последовательность векторных расслоений на Икс:^[5]

${displaystyle 0 o T_{X/S} o T_{Y/S}|_{X} o N_{X/Y} o 0}$,

(который является частным случаем точной последовательности для котангенциальные связки.)

Позволять ${displaystyle X}$ - схема конечного типа над полем и ${displaystyle Wsubset X}$ закрытая подсхема. Если ${displaystyle X}$ имеет чистое измерение р; т.е. каждая неприводимая компонента имеет размерность р, тогда ${displaystyle C_{W/X}}$ также имеет чистое измерение р.^[6] (Это можно рассматривать как следствие # Деформация нормального конуса.) Это свойство является ключом к применению в теории пересечений: задана пара замкнутых подсхем ${displaystyle V,X}$ в каком-то окружающем пространстве, в то время как теоретико-схемное пересечение ${displaystyle Vcap X}$ имеет неснижаемые компоненты различных размеров, деликатно зависящих от положения ${displaystyle V,X}$, нормальный конус к ${displaystyle Vcap X}$ имеет чистое измерение.

Примеры

• Позволять ${displaystyle Dhookrightarrow X}$ - эффективный дивизор Картье. Тогда нормальное расслоение к нему (или, что то же самое, нормальный конус к нему) есть^[7]

  ${displaystyle N_{D/X}={mathcal {O}}_{D}(D):={mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}}$.

Нерегулярное вложение

Рассмотрим нерегулярное вложение

${displaystyle X={ ext{Spec}}left({frac {mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}ight) o mathbb {A} ^{3}}$

тогда мы можем вычислить нормальный конус, сначала наблюдая

${displaystyle {egin{aligned}I&=(xz,yz)I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})end{aligned}}}$

Если мы сделаем вспомогательные переменные ${displaystyle a=xz}$ и ${displaystyle b=yz}$ затем заметьте, что

${displaystyle I^{2}=(a^{2},ab,b^{2})}$

давая отношение

${displaystyle a^{2}b^{2}-ab=0.}$

Мы можем использовать это, чтобы представить нормальный конус:^{[требуется разъяснение ]}

${displaystyle C_{X}mathbb {A} ^{3}={ ext{Spec}}_{X}left({frac {{mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(a^{2}b^{2}-ab)}}ight)}$

Деформация до нормального конуса

Предполагать я: Икс → Y это вложение. Это можно деформировать до вложения Икс в нормальном конусе C_ИксY в следующем смысле: существует семейство вложений, параметризованное элементом т проективной или аффинной прямой, такой что если т= 0 вложение есть вложение в нормальный конус, а для других т изоморфно ли оно данному вложениюя. (См. Конструкцию ниже.)

Одно из применений этого - определение продуктов пересечения в Кольцо для чау-чау. Предположим, что Икс и V закрытые подсхемы Y с пересечением W, и мы хотим определить произведение пересечений Икс и V в чау-ринге Y. Деформация к нормальному конусу в этом случае означает замену вложения Икс и W в Y и V их нормальными конусами C_Y(Икс) и C_W(V), так что мы хотим найти произведение Икс и C_WV в C_ИксYЭто может быть намного проще: например, если Икс является регулярно встраивается в Y то его нормальный конус является векторным расслоением, поэтому мы сводимся к задаче нахождения произведения пересечения подсхемы C_WV векторного расслоения C_ИксY с нулевой секцией Икс. Однако это произведение пересечений просто дается применением изоморфизма Гизина к C_WV.

Конкретно, деформация нормального конуса может быть построена с помощью раздува. Именно пусть

${displaystyle pi :M o Y imes mathbb {P} ^{1}}$

быть взрывом ${displaystyle Y imes mathbb {P} ^{1}}$ вдоль ${displaystyle X imes 0}$. Исключительный дивизор равен ${displaystyle {overline {C_{X}Y}}=mathbb {P} (C_{X}Yoplus 1)}$, проективное пополнение нормального конуса; используемые здесь обозначения см. cone # Свойства. Нормальный конус ${displaystyle C_{X}Y}$ открытая подсхема ${displaystyle {overline {C_{X}Y}}}$ и ${displaystyle X}$ вложено как нулевое сечение в ${displaystyle C_{X}Y}$.

Теперь отметим:

1. Карта ${displaystyle ho :M o mathbb {P} ^{1}}$, то ${displaystyle pi }$ с последующим выступом, плоский.
2. Имеется индуцированное замкнутое вложение

   ${displaystyle {widetilde {i}}:X imes mathbb {P} ^{1}hookrightarrow M}$

   это морфизм над ${displaystyle mathbb {P} ^{1}}$.
3. M тривиально от нуля; т.е. ${displaystyle ho ^{-1}(mathbb {P} ^{1}-0)=Y imes (mathbb {P} ^{1}-0)}$ и ${displaystyle {widetilde {i}}}$ ограничивается тривиальным вложением

   ${displaystyle X imes (mathbb {P} ^{1}-0)hookrightarrow Y imes (mathbb {P} ^{1}-0)}$.

4. ${displaystyle ho ^{-1}(0)}$ поскольку делитель - это сумма
   ${displaystyle {overline {C_{X}Y}}+{widetilde {Y}}}$
   куда ${displaystyle {widetilde {Y}}}$ это взрыв Y вдоль Икс и рассматривается как эффективный делитель Картье.
5. Как делители ${displaystyle {overline {C_{X}Y}}}$ и ${displaystyle {widetilde {Y}}}$ пересекаться в ${displaystyle mathbb {P} (C)}$, куда ${displaystyle mathbb {P} (C)}$ сидит в бесконечности в ${displaystyle {overline {C_{X}Y}}}$.

Пункт 1. ясен (проверить отсутствие кручения). В общем, учитывая ${displaystyle Xsubset Y}$, у нас есть ${displaystyle operatorname {Bl} _{V}Xsubset operatorname {Bl} _{V}Y}$. С ${displaystyle X imes 0}$ уже является эффективным делителем Картье на ${displaystyle X imes mathbb {P} ^{1}}$, мы получили

${displaystyle X imes mathbb {P} ^{1}=operatorname {Bl} _{X imes 0}X imes mathbb {P} ^{1}hookrightarrow M}$,

уступающий ${displaystyle {widetilde {i}}}$. Пункт 3. следует из того, что отображение продувки π является изоморфизмом вне центра ${displaystyle X imes 0}$. Последние два элемента видны из явных локальных вычислений. ${displaystyle square }$

Теперь последний пункт в предыдущем абзаце подразумевает, что изображение ${displaystyle X imes 0}$ в M не пересекается ${displaystyle {widetilde {Y}}}$. Таким образом, получается деформация я вложение нулевого сечения Икс в нормальный конус.

Внутренний нормальный конус

Позволять Икс быть Стек Делин-Мамфорд локально конечного типа над полем k. Если ${displaystyle { extbf {L}}_{X}}$ обозначает котангенс комплекс из Икс относительно k, то внутренняя нормальная связка к Икс это стек частных

${displaystyle {mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({ extbf {L}}_{X,{ ext{fppf}}}^{vee })}$

который является стеком fppf ${displaystyle { extbf {L}}_{X}^{vee ,0}}$-торсоры на ${displaystyle { extbf {L}}_{X}^{vee ,1}}$. Более конкретно, предположим, что существует этальный морфизм ${displaystyle U o X}$ из аффинного конечного типа k-схема U вместе с локально закрытым погружением ${displaystyle f:U o M}$ в гладкий аффинный конечный тип k-схема M. Тогда можно показать

${displaystyle {mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$

В внутренний нормальный конус к Икс, обозначенный как ${displaystyle {mathfrak {C}}_{X}}$, затем определяется заменой нормального расслоения ${displaystyle N_{U/M}}$ с нормальным конусом ${displaystyle C_{U/M}}$; т.е.

${displaystyle {mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$

Пример: У одного есть это ${displaystyle X}$ является локальным полным пересечением тогда и только тогда, когда ${displaystyle {mathfrak {C}}_{X}={mathfrak {N}}_{X}}$. В частности, если Икс является гладкий, тогда ${displaystyle {mathfrak {C}}_{X}={mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$ это классифицирующий стек касательного пучка ${displaystyle T_{X}}$, которая является коммутативной групповой схемой над Икс.

В общем, пусть ${displaystyle X o Y}$ является морфизмом типа Делиня-Мамфорда (DM-типа) стэков Артина, который локально имеет конечный тип. потом ${displaystyle {mathfrak {C}}_{X/Y}subseteq {mathfrak {N}}_{X/Y}}$ характеризуется как замкнутый подстак, такой, что для любого этального отображения ${displaystyle U o X}$ для которого ${displaystyle U o X o Y}$ факторы через некоторую гладкую карту ${displaystyle M o Y}$ (например., ${displaystyle mathbb {A} _{Y}^{n} o Y}$) откат:

${displaystyle {mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$

Смотрите также

• Остаточное пересечение

Примечания

1. Hartshorne, Гл. III, упражнение 9.7. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)
2. Фултон, Приложение B.7.4. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
3. Фултон, Приложение B.7.4. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
4. Фултон, Первая часть доказательства теоремы 6.5. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
5. Фултон, Приложение Б 7.1. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
6. Фултон, Приложение Б. 6.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)
7. Фултон, Приложение B.6.2. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

Рекомендации

• Behrend, K .; Фантечи, Б. (1997-03-01). «Внутренний нормальный конус». Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. Дои:10.1007 / s002220050136. ISSN  0020-9910.
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157