Числовая строка - Number line

В элементарная математика, а числовая строка это изображение градуированной прямой линия что служит абстракцией для действительные числа, обозначаемый ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . Предполагается, что каждая точка числовой прямой соответствует настоящий номер, и каждое действительное число в точку.^[1]

В целые числа часто отображаются в виде специально отмеченных точек, равномерно расположенных на линии. Хотя это изображение показывает только целые числа от –9 до 9, строка включает все действительные числа, продолжаясь бесконечно в каждом направлении, а также числа между целыми числами. Его часто используют как вспомогательное средство в обучении простым добавление и вычитание, особенно с участием отрицательные числа.

В высшей математике выражения действительная числовая линия, или же реальная линия обычно используются для обозначения вышеупомянутой концепции, согласно которой каждая точка на прямой линии соответствует единственному действительному числу, и наоборот.

История

Первое упоминание числовой линии, используемой для рабочих целей, находится в Джон Уоллис с Трактат по алгебре. ^[2]. В своем трактате Уоллис описывает сложение и вычитание на числовой прямой с точки зрения движения вперед и назад, используя метафору идущего человека.

Однако более раннее изображение без упоминания операций можно найти в Джон Напье с Описание замечательной таблицы логарифмов, который показывает значения от 1 до 12, выстроенные слева направо.^[3]

Вопреки общему мнению, Рене Декарт оригинальный La Géométrie не имеет числовой линии, как мы ее используем сегодня, хотя и использует систему координат. В частности, работа Декарта не содержит конкретных чисел, нанесенных на линии, только абстрактные величины.^[4]

Рисование числовой линии

Числовая строка обычно представлена как горизонтальный, но в Декартова координатная плоскость вертикальная ось (ось Y) также является числовой линией.^[5] Согласно одному соглашению, положительные числа всегда лежать справа от нуля, отрицательные числа всегда лежат слева от нуля, а стрелки на обоих концах линии означают, что линия продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях. Согласно другому соглашению, используется только одна стрелка, указывающая направление роста чисел.^[5] Линия продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях в соответствии с правилами геометрии, которые определяют линию без конечных точек как бесконечная линия, линия с одной конечной точкой как луч, и линия с двумя конечными точками как отрезок.

Сравнение чисел

Если конкретное число находится дальше правее на числовой строке, чем другое число, то первое число больше второго (эквивалентно, второе меньше первого). Расстояние между ними - это величина их разницы, то есть измеряется первое число минус второе или, что эквивалентно, абсолютное значение второго числа минус первое. Восприятие этой разницы - это процесс вычитание.

Так, например, длина отрезок от 0 до некоторого другого числа представляет величину последнего числа.

Два числа могут быть добавлен «взяв» длину от 0 до одного из чисел и положив ее снова так, чтобы конец, который был 0, был помещен поверх другого числа.

Два числа могут быть умноженный как в этом примере: Чтобы умножить 5 × 3, обратите внимание, что это то же самое, что 5 + 5 + 5, поэтому возьмите длину от 0 до 5 и поместите ее справа от 5, а затем снова возьмите эту длину и поместите его справа от предыдущего результата. В результате получается 3 комбинированных отрезка по 5 штук каждый; так как процесс заканчивается на 15, получаем, что 5 × 3 = 15.

Разделение можно выполнить, как в следующем примере: Чтобы разделить 6 на 2, то есть, чтобы узнать, сколько раз 2 переходит в 6, обратите внимание, что длина от 0 до 2 лежит в начале длины от 0 до 6; возьмите прежнюю длину и снова положите ее справа от исходного положения, при этом конец, который раньше был на 0, теперь на 2, а затем снова переместите длину вправо от его последнего положения. Это помещает правый конец длины 2 в правый конец длины от 0 до 6. Поскольку три отрезка длины 2 заполнили длину 6, 2 переходит в 6 три раза (то есть 6 ÷ 2 = 3).

Порядок на числовой прямой: большие элементы расположены в направлении стрелки.
Разница 3-2 = 3 + (- 2) на прямой.
Сложение 1 + 2 на действительной числовой строке
Абсолютная разница.
Умножение 2 на 1,5
Деление 3 ÷ 2 на действительной числовой строке

Части числовой строки

Закрытый интервал

[а, б]

.

Отрезок числовой линии между двумя числами называется интервал. Если раздел включает оба числа, это называется закрытым интервалом, а если он исключает оба числа, он называется открытым интервалом. Если он включает одно из чисел, но не другое, это называется полуоткрытым интервалом.

Все точки, навсегда уходящие в одном направлении из определенной точки, вместе известны как луч. Если луч включает конкретную точку, это замкнутый луч; иначе это открытый луч.

Расширения концепции

Логарифмическая шкала

Бревенчатый график у = Икс (синий), у = Икс² (зеленый) и у = Икс³ (красный).
Обратите внимание на отметки логарифмической шкалы на каждой из осей, и что журналИкс и журналу оси (где логарифмы 0), где Икс и у сами 1.

На числовой прямой расстояние между двумя точками является единицей длины тогда и только тогда, когда разность представленных чисел равна 1. Возможны другие варианты.

Один из наиболее распространенных вариантов - логарифмическая шкала, который является представлением положительный числа на линии, так что расстояние между двумя точками является единичной длиной, если соотношение представленных чисел имеет фиксированное значение, обычно 10. В такой логарифмической шкале начало координат равно 1; один дюйм вправо - 10, один дюйм вправо - 10 10×10 = 100, тогда 10×100 = 1000 = 10³, тогда 10×1000 = 10,000 = 10⁴и т. д. Аналогично, на один дюйм слева от 1 1/10 = 10^–1, тогда 1/100 = 10^–2, так далее.

Этот подход полезен, когда нужно изобразить на одном рисунке значения с очень разными порядок величины. Например, требуется логарифмическая шкала для одновременного представления размеров различных тел, существующих в Вселенная, как правило, фотон, электрон, атом, а молекула, а человек, то земной шар, то Солнечная система, а галактика, и видимая Вселенная.

Логарифмические шкалы используются в правила слайдов для умножения или деления чисел путем сложения или вычитания длин в логарифмической шкале.

Две логарифмические шкалы логарифмической линейки

Объединение числовых линий

Линия, проведенная через начало координат под прямым углом к линии действительного числа, может использоваться для представления мнимые числа. Эта линия называется воображаемая линия, расширяет числовую строку до плоскость комплексных чисел, с точками, представляющими сложные числа.

В качестве альтернативы, можно провести одну линию действительного числа по горизонтали, чтобы обозначить возможные значения одного действительного числа, обычно называемого Икс, и еще одна линия действительного числа может быть проведена вертикально для обозначения возможных значений другого действительного числа, обычно называемого у. Вместе эти линии образуют так называемый Декартова система координат, а любая точка на плоскости представляет собой значение пары действительных чисел. Кроме того, декартова система координат может быть расширена путем визуализации третьей числовой линии, «выходящей из экрана (или страницы)», измеряющей третью переменную, называемую z. Положительные числа ближе к глазам зрителя, чем экран, а отрицательные числа «за экраном»; большие числа - дальше от экрана. Тогда любая точка трехмерного пространства, в котором мы живем, представляет значения трио действительных чисел.

Смотрите также

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Числовые линии в Wikimedia Commons

[1] Стюарт, Джеймс Б.; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008). Колледж алгебры (5-е изд.). Брукс Коул. С. 13–19. ISBN 0-495-56521-0.

[2] Уоллис, Джон (1685). Трактат по алгебре. http://lhldigital.lindahall.org/cdm/ref/collection/math/id/11231 стр.265

[3] Напье, Джон (1616). Описание замечательной таблицы логарифмов https://www.math.ru.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/napier1.html

[4] Нуньес, Рафаэль (2017). Насколько математика "зашита", если вообще есть Миннесотские симпозиумы по детской психологии: культура и системы развития, том 38. http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/COGS152_Readings/Nunez_ch3_MN.pdf стр.98

[purple-5] а ^б Введение в плоскость x, y В архиве 2015-11-09 в Wayback Machine "Purplemath" Дата обращения 13 ноября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]