Теорема Пикара – Линделёфа - Picard–Lindelöf theorem

В математика - в частности, в дифференциальные уравнения - в Теорема Пикара – Линделёфа, Теорема существования Пикарда, Теорема Коши – Липшица., или существование и уникальность теорема дает набор условий, при которых проблема начального значения имеет уникальное решение.

Теорема названа в честь Эмиль Пикар, Эрнст Линделёф, Рудольф Липшиц и Огюстен-Луи Коши.

Рассмотрим проблема начального значения

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}.}$

Предположим  ж  равномерно Липшицева непрерывная в y (что означает, что постоянная Липшица может быть взята независимо от т) и непрерывный в т, то для некоторого значения ε > 0, существует единственное решение y(т) к задаче начального значения на интервале ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$.^[1]

Доказательство эскиза

Доказательство основано на преобразовании дифференциального уравнения и применении теории неподвижной точки. Интегрируя обе части, любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, должна также удовлетворять интегральному уравнению

${\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.}$

Просто доказательство существования решения получается последовательными приближениями. В этом контексте метод известен как Итерация Пикарда.

Набор

${\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0}}$

и

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.}$

Затем его можно показать, используя Теорема Банаха о неподвижной точке, что последовательность «итераций Пикара» φ_k является сходящийся и что предел это решение проблемы. Применение Лемма Грёнвалла к |φ(т) − ψ(т)|, где φ и ψ два решения, показывает, что φ(т) = ψ(т), тем самым доказывая глобальную единственность (локальная единственность является следствием единственности банаховой неподвижной точки).

Метод Пикара чаще всего формулируется без доказательств и графиков. Увидеть Метод Ньютона последовательного приближения для инструкции.

Пример итерации Пикара

Позволять ${\displaystyle y(t)=\tan(t),}$ решение уравнения ${\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2}}$ с начальным условием ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.}$ Начиная с ${\displaystyle \varphi _{0}(t)=0,}$ мы повторяем

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds}$

так что ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)}$:

${\displaystyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t}$

${\displaystyle \varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}}$

и так далее. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения ${\displaystyle y=\tan(t).}$ поскольку ${\displaystyle \tan }$ имеет полюса на ${\displaystyle \pm {\tfrac {\pi }{2}},}$ это сходится к локальному решению только при ${\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}},}$ не на всех р.

Пример неединственности

Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры.^[2] Дифференциальное уравнение может иметь стационарную точку. Например, для уравнения dy/dt = ай (${\displaystyle a<0}$) стационарным решением является y(т) = 0, которое получается при начальном условии y(0) = 0. Начиная с другого начального состояния y(0) = y₀ ≠ 0, решение y(т) стремится к стационарной точке, но достигает ее только в пределе бесконечного времени, поэтому единственность решений (на всех конечных временах) гарантируется.

Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается после конечный время, уникальность не удается. Это происходит, например, для уравнения dy/dt = ай^2/3, которая имеет не менее двух решений, соответствующих начальному условию y(0) = 0 такие как: y(т) = 0 или

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{cases}}}$

поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием после т = 0. Теорема единственности неприменима, поскольку функция  ж (y) = y^2/3 имеет бесконечный уклон на y = 0 и поэтому не является липшицевым, что нарушает условия теоремы.

Подробное доказательство

Позволять

${\displaystyle C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{\overline {B_{b}(y_{0})}}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}}$

Это компактный цилиндр, в котором  ж  определено. Позволять

${\displaystyle M=\sup _{C_{a,b}}\|f\|,}$

это максимальный наклон функции по модулю. Наконец, пусть L - константа Липшица  ж  по второй переменной.

Мы приступим к подаче заявки Теорема Банаха о неподвижной точке используя метрику на ${\displaystyle {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$ индуцированная равномерной нормой

${\displaystyle \|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}|\varphi (t)|.}$

Мы определяем оператор между двумя функциональными пространствами непрерывных функций, оператор Пикара, следующим образом:

${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

определяется:

${\displaystyle \Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds.}$

Мы должны показать, что этот оператор отображает полное непустое метрическое пространство X в себя, а также является сжатие.

Сначала покажем, что при определенных ограничениях на ${\displaystyle a,\Gamma }$ берет ${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$ в себя в пространстве непрерывных функций с равномерной нормой. Вот, ${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$ - замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных) функций, «центрированный» на постоянной функции ${\displaystyle y_{0}}$. Следовательно, нам нужно показать, что

${\displaystyle \|\varphi _{1}\|_{\infty }\leq b.}$

подразумевает

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b}$

где ${\displaystyle t'}$ какое-то число в ${\displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a]}$ где достигается максимум. Последний шаг верен, если мы наложим требование а < б/M.

Теперь попробуем доказать, что этот оператор является сжатием.

Учитывая две функции ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$, чтобы применить Теорема Банаха о неподвижной точке мы хотим

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },}$

для некоторых q <1. Пусть т быть таким, чтобы

${\displaystyle \|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|}$

то, используя определение Γ

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\end{aligned}}}$

Это сокращение, если ${\displaystyle a<{\tfrac {1}{L}}.}$

Мы установили, что оператор Пикара является сжатием на банаховых пространствах с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке, чтобы сделать вывод о том, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, есть уникальная функция

${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

такой, что Γφ = φ. Эта функция - единственное решение задачи начального значения, действительное на интервале я_а где а удовлетворяет условию

${\displaystyle a<\min \left\{{\tfrac {b}{M}},{\tfrac {1}{L}}\right\}.}$

Оптимизация интервала решения

Тем не менее, есть следствие из теоремы Банаха о неподвижной точке: если оператор Т^п это сокращение для некоторых п в N, тогда Т имеет уникальную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:

Лемма:   ${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$

Доказательство. Индукция на м. Для базы индукции (м = 1) мы уже видели это, поэтому предположим, что неравенство выполняется для м − 1, то имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}}$

Это неравенство гарантирует, что для некоторых больших м,

${\displaystyle {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,}$

а значит, Γ^м будет сокращение. Итак, по предыдущему следствию Γ будет иметь единственную неподвижную точку. Наконец, мы смогли оптимизировать интервал решения, взяв α = min {а, б/M}.

В конце концов, этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.

Другие теоремы существования

Теорема Пикара – Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. В Теорема существования Пеано показывает только существование, а не уникальность, но предполагает только то, что  ж  непрерывно в y, вместо того Липшицева непрерывная. Например, правая часть уравнения dy/dt = y^1/3 с начальным условием y(0) = 0 непрерывно, но не липшицево. В самом деле, это уравнение не является уникальным, а имеет три решения:^[3]

${\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}}$.

Еще более общий Теорема существования Каратеодори, что доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на  ж . Хотя этих условий достаточно, также существуют необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение задачи начального значения было единственным, например Окамура Теорема.^[4]

Смотрите также

• Математический портал

• Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)
• Условия интегрируемости дифференциальных систем.
• Метод Ньютона
• Метод Эйлера
• Трапецеидальная линейка

Заметки

1. Коддингтон и Левинсон (1955), Теорема I.3.1
2. Арнольд, В.И. (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения.. MIT Press. ISBN  0-262-51018-9.
3. Коддингтон и Левинсон (1955), п. 7
4. Agarwal, Ravi P .; Лакшмикантам В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений. World Scientific. п. 159. ISBN  981-02-1357-3.

использованная литература

• Коддингтон, Эрл А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл..
• Линделёф, Э. (1894). "Sur l'application de la méthode des приближения, последовательные aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 116: 454–457. (В этой статье Линделёф обсуждает обобщение более раннего подхода Пикарда.)
• Тешл, Джеральд (2012). «2.2. Основной результат существования и единственности» (PDF). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Аспирантура по математике. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 38. eISSN  2376-9203. ISBN  978-0-8218-8328-0. ISSN  1065-7339. Zbl  1263.34002.

внешние ссылки

• Теорема Коши-Липшица в Энциклопедия математики.
• Фиксированные точки и алгоритм Пикара, выздоровел от http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html.
• Доказательство теоремы Пикара – Линделёфа.