Сантехника (математика) - Plumbing (mathematics)

В математической области геометрическая топология, среди техник, известных как теория хирургии, процесс сантехника способ создавать новые коллекторы из комплекты дисков. Впервые он был описан Джон Милнор^[1] и впоследствии широко использовался в теории хирургии для создания многообразий и карт нормалей с заданными хирургическими препятствиями.

Определение

Позволять ${\displaystyle \xi _{i}=(E_{i},M_{i},p_{i})}$ быть званием п векторный набор над п-размерный гладкое многообразие ${\displaystyle M_{i}}$ за я = 1,2. Обозначим через ${\displaystyle D(E_{i})}$ общее пространство ассоциированной (замкнутой) дисковой связки ${\displaystyle D(\xi _{i})}$и предположим, что ${\displaystyle \xi _{i},M_{i}}$ и ${\displaystyle D(E_{i})}$ориентированы совместимым образом. Если мы выберем две точки ${\displaystyle x_{i}\in M_{i}}$, я = 1,2, и рассмотрим шаровую окрестность точки ${\displaystyle x_{i}}$ в ${\displaystyle M_{i}}$, то мы получаем окрестности ${\displaystyle D_{i}^{n}\times D_{i}^{n}}$ волокна над ${\displaystyle x_{i}}$ в ${\displaystyle D(E_{i})}$. Позволять ${\displaystyle h:D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}}$ и ${\displaystyle k:D_{2}^{n}\rightarrow D_{1}^{n}}$ - два диффеоморфизма (сохраняющие ориентацию или меняющие ориентацию). В сантехника^[2] из ${\displaystyle D(E_{1})}$ и ${\displaystyle D(E_{2})}$ в ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ определяется как факторное пространство ${\displaystyle P=D(E_{1})\cup _{f}D(E_{2})}$ куда ${\displaystyle f:D_{1}^{n}\times D_{1}^{n}\rightarrow D_{2}^{n}\times D_{2}^{n}}$ определяется ${\displaystyle f(x,y)=(k(y),h(x))}$.

Сантехника по дереву

Если базовое многообразие является п-сфера ${\displaystyle S^{n}}$, затем повторяя эту процедуру над несколькими векторными расслоениями над ${\displaystyle S^{n}}$ их можно соединить вместе в соответствии с дерево^[3]§8. Если ${\displaystyle T}$ дерево, каждой вершине сопоставляем векторное расслоение ${\displaystyle \xi }$ над ${\displaystyle S^{n}}$ и соединим соответствующие пучки дисков вместе, если две вершины соединены ребром. Необходимо следить за тем, чтобы окрестности в полных пространствах не перекрывались.

Многообразия Милнора

Позволять ${\displaystyle D(\tau _{S^{2k}})}$ обозначают дисковый пучок, связанный с касательный пучок из 2k-сфера. Если мы подключим восемь копий ${\displaystyle D(\tau _{S^{2k}})}$ согласно диаграмма ${\displaystyle E_{8}}$, получаем 4k-мерное многообразие, которое некоторые авторы^[4][5] позвонить в Коллектор Милнора ${\displaystyle M_{B}^{4k}}$ (смотрите также E₈ многообразие ).

За ${\displaystyle k>1}$, граница ${\displaystyle \Sigma ^{4k-1}=\partial M_{B}^{4k}}$ это гомотопическая сфера который порождает ${\displaystyle \theta ^{4k-1}(\partial \pi )}$, группа час-кобордизм классов гомотопических сфер, ограничивающих π-многообразия (смотрите также экзотические сферы Больше подробностей). Его подпись ${\displaystyle sgn(M_{B}^{4k})=8}$ и существует^{[2] V.2.9} а карта нормалей ${\displaystyle (f,b)}$ так что обструкция хирургии является ${\displaystyle \sigma (f,b)=1}$, куда ${\displaystyle g:(M_{B}^{4k},\partial M_{B}^{4k})\rightarrow (D^{4k},S^{4k-1})}$ является отображением степени 1 и ${\displaystyle b:\nu _{M_{B}^{4k}}\rightarrow \xi }$ это карта расслоения из стабильный нормальный пакет многообразия Милнора до некоторой стабильное векторное расслоение.

Теорема о сантехнике

Важнейшей теоремой для развития теории хирургии является так называемая Теорема о сантехнике^{[2] II.1.3} (представлен здесь в односвязный дело):

Для всех ${\displaystyle k>1,l\in \mathbb {Z} }$, существует 2k-мерное многообразие ${\displaystyle M}$ с границей ${\displaystyle \partial M}$ и нормальная карта ${\displaystyle (g,c)}$ куда ${\displaystyle g:(M,\partial M)\rightarrow (D^{2k},S^{2k-1})}$ таково, что ${\displaystyle g|_{\partial M}}$ является гомотопической эквивалентностью, ${\displaystyle c}$ - отображение расслоения в тривиальное расслоение, и препятствие к перестройке есть ${\displaystyle \sigma (g,c)=l}$.

Доказательство этой теоремы использует многообразия Милнора, определенные выше.

Рекомендации

1. Джон Милнор, Об односвязных 4-многообразиях
2. Уильям Браудер, Хирургия односвязных многообразий
3. Фридрих Хирцебрух, Томас Бергер, Райнер Юнг, Многообразия и модульные формы
4. Иб Мэдсен, Р. Джеймс Милгрэм, Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий
5. Сантьяго Лопес де Медрано, Инволюции на многообразиях

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-50022-0
• Милнор, Джон (1956), Об односвязных 4-многообразиях, Symposium Internal de Topología Algebráica, Мексика
• Хирцебрух, Фридрих; Бергер, Томс; Юнг, Райнер (1994), Многообразия и модульные формы, Springer-Verlag, ISBN  978-3-528-16414-0
• Мэдсен, Иб; Милгрэм, Р. Джеймс (1979), Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообразий, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-1-4008-8147-5
• Лопес-де-Медрано, Сантьяго (1971), Инволюции на многообразиях, Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-65014-7