Граница Пуассона - Poisson boundary

В математика, то Граница Пуассона это измерить пространство связано с случайная прогулка. Это объект, предназначенный для кодирования асимптотический поведение случайного блуждания, т.е.как траектории расходятся, когда количество шагов стремится к бесконечности. Несмотря на то, что его называют границей, это в целом объект чисто теоретической меры, а не граница в топологическом смысле. Однако в случае, когда случайное блуждание происходит в топологическом пространстве, граница Пуассона может быть связана с Граница Мартина что является аналитической конструкцией, дающей настоящую топологическую границу. Обе границы связаны с гармонические функции на пространстве с помощью обобщений Формула Пуассона.

Случай гиперболической плоскости

Формула Пуассона утверждает, что с учетом положительной гармонической функции ${\displaystyle f}$ на единичный диск ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ (то есть, ${\displaystyle \Delta f=0}$ куда ${\displaystyle \Delta }$ это Оператор Лапласа – Бельтрами связанный с Метрика Пуанкаре на ${\displaystyle \mathbb {D} }$) существует единственная мера ${\displaystyle \mu }$ на границе ${\displaystyle \partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$ такое, что равенство

${\displaystyle f(z)=\int _{\partial \mathbb {D} }K(z,\xi )\,d\mu (\xi )}$ куда ${\displaystyle K(z,\xi )={\frac {1-|z|^{2}}{|\xi -z|^{2}}}}$ это Ядро Пуассона,

относится ко всем ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$. Один из способов интерпретировать это состоит в том, что функции ${\displaystyle K(\cdot ,\xi )}$ за ${\displaystyle \xi \in \partial \mathbb {D} }$ до масштабирования всех крайние точки в конусе неотрицательных гармонических функций. Эта аналитическая интерпретация множества ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ приводит к более общему понятию минимальная граница Мартина (что в данном случае является полным Граница Мартина).

Этот факт также можно интерпретировать вероятностным образом. Если ${\displaystyle W_{t}}$ это Марковский процесс связано с ${\displaystyle \Delta }$ (т.е. Броуновское движение на круге с римановой метрикой Пуанкаре), то процесс ${\displaystyle f(W_{t})}$ это непрерывное время мартингейл, и поэтому почти всюду сходится к функции на Винеровское пространство возможных (бесконечных) траекторий для ${\displaystyle W_{t}}$. Таким образом, формула Пуассона отождествляет это измеренное пространство с границей Мартина, построенной выше, и в конечном итоге ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ наделен классом меры Лебега (отметим, что это отождествление может быть выполнено непосредственно, поскольку путь в винеровском пространстве почти наверняка сходится к точке на ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$). Эта интерпретация ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ поскольку пространство траекторий для марковского процесса является частным случаем построения границы Пуассона.

Наконец, приведенные выше конструкции могут быть дискретизированы, т.е. ограничены случайными блужданиями по орбитам Фуксова группа действующий на ${\displaystyle \mathbb {D} }$. Это позволяет отождествить экстремальные положительные гармонические функции на группе и пространство траекторий случайного блуждания на группе (оба относительно заданной вероятностной меры) с топологическим / измеренным пространством ${\displaystyle \mathbb {D} }$.

Определение

Граница Пуассона случайного блуждания на дискретной группе

Позволять ${\displaystyle G}$ дискретная группа и ${\displaystyle \mu }$ вероятностная мера на ${\displaystyle G}$, который будет использоваться для определения случайного блуждания ${\displaystyle X_{t}}$ на ${\displaystyle G}$ (Марковский процесс с дискретным временем, переходные вероятности которого равны ${\displaystyle p(x,y)=\mu (xy^{-1})}$); мера ${\displaystyle \mu }$ называется ступенчатое распределение для случайного блуждания. Позволять ${\displaystyle m}$ быть еще одной мерой ${\displaystyle G}$, которое будет начальным состоянием для случайного блуждания. Космос ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ траекторий для ${\displaystyle X_{t}}$ наделен мерой ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}=m*\mu ^{*\mathbb {N} }}$ (куда ${\displaystyle *}$ обозначает свертка мер). Также есть отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$, который определяет ${\displaystyle (x_{t})}$ к ${\displaystyle (y_{t})}$ если существует ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle x_{t+n}=y_{t+m}}$ для всех ${\displaystyle t\geq 0}$ (две траектории имеют один и тот же «хвост»). В Граница Пуассона из ${\displaystyle (G,\mu )}$ тогда измеренное пространство ${\displaystyle \Gamma }$ получается как частное от ${\displaystyle (G^{\mathbb {N} },\mathbb {P} _{m})}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle \sim }$.^[1]

Если ${\displaystyle \theta }$ - начальное распределение случайного блуждания со ступенчатым распределением ${\displaystyle \mu }$ тогда мера ${\displaystyle \nu _{\theta }}$ на ${\displaystyle \Gamma }$ полученный как толчок ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$. Это стационарная мера для ${\displaystyle (G,\mu )}$, означающий, что

${\displaystyle \int _{G}\nu (g^{-1}A)\mu (g)=\nu _{\theta }(A).}$

Можно дать неявное определение границы Пуассона как максимальной ${\displaystyle G}$-комплект с ${\displaystyle (G,\mu )}$-стационарная мера ${\displaystyle \nu }$, удовлетворяющая дополнительному условию ${\displaystyle (X_{t})_{*}\nu }$ почти наверняка слабо сходится к Масса Дирака.^[2]

Формула Пуассона

Позволять ${\displaystyle f}$ быть ${\displaystyle \mu }$-гармоническая функция на ${\displaystyle G}$, означающий, что ${\displaystyle \sum _{h\in G}f(hg)\mu (h)=f(g)}$. Тогда случайная величина ${\displaystyle f(X_{t})}$ является мартингалом с дискретным временем и поэтому почти наверняка сходится. Обозначим через ${\displaystyle {\hat {f}}}$ функция на ${\displaystyle \Gamma }$ полученный путем взятия предела значений ${\displaystyle f}$ вдоль траектории (это определено почти всюду на ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ и инвариантный к сдвигу). Позволять ${\displaystyle x\in G}$ и разреши ${\displaystyle \nu _{x}}$ - мера, полученная указанным выше сужением с ${\displaystyle \theta =\delta _{x}}$ (масса Дирака при ${\displaystyle x}$). Если ${\displaystyle f}$ либо положительно, либо ограничено, то ${\displaystyle {\hat {f}}}$ тоже, и у нас есть Формула Пуассона:

${\displaystyle f(x)=\int _{\Gamma }{\hat {f}}(\gamma )\,d\nu _{x}(\gamma ).}$

Это устанавливает взаимное соответствие между ${\displaystyle \mu }$-гармонические ограниченные функции и существенно ограниченные измеримые функции на ${\displaystyle \Gamma }$. В частности, пуассоновская граница ${\displaystyle (G,\mu )}$ тривиально, сводится к точке тогда и только тогда, когда единственное ограниченное ${\displaystyle \mu }$-гармонические функции на ${\displaystyle G}$ постоянны.

Общее определение

Общие настройки такие же, как у Марковский оператор на мерном пространстве - понятие, обобщающее марковский оператор ${\displaystyle f\mapsto \mu *f}$ связано со случайным блужданием. Большая часть теории может быть развита в этой абстрактной и очень общей постановке.

Граница Мартина

Граница Мартина дискретной группы

Позволять ${\displaystyle G,\mu }$ случайное блуждание по дискретной группе. Позволять ${\displaystyle p_{n}(x,y)}$ быть вероятностью получить от ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle n}$ шаги, т.е. ${\displaystyle \mu ^{*n}(x^{-1}y)}$. Ядро Грина по определению:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y).}$

Если блуждание временное, то этот ряд сходится для всех ${\displaystyle x,y}$. Зафиксируйте точку ${\displaystyle o\in G}$ и определим ядро ​​Мартина: ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{o}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}(x,y)}{{\mathcal {G}}(o,y)}}}$. Вложение ${\displaystyle y\mapsto {\mathcal {K}}_{o}(\cdot ,y)}$ имеет относительно компактный образ топологии поточечной сходимости, и компактификация Мартина является замыканием этого образа. Точка ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ обычно обозначается ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\cdot ,\gamma )}$.

Ядра Мартина являются положительными гармоническими функциями, и каждая положительная гармоническая функция может быть выражена как интеграл функций на границе, то есть для каждой положительной гармонической функции существует мера ${\displaystyle \nu _{o,f}}$ на ${\displaystyle \Gamma }$ такая, что имеет место формула типа Пуассона:

${\displaystyle f(x)=\int {\mathcal {K}}_{o}(x,\gamma )\,d\nu _{o,f}(\gamma ).}$

Меры ${\displaystyle \nu _{o,f}}$ поддерживаются на минимальный Граница Мартина, элементы которой также можно охарактеризовать как минимальные. Положительная гармоническая функция ${\displaystyle u}$ как говорят минимальный если для любой гармонической функции ${\displaystyle v}$ с ${\displaystyle 0\leq v\leq u}$ Существует ${\displaystyle c\in [0,1]}$ такой, что ${\displaystyle v=cu}$.^[3]

На самом деле существует целое семейство компактификаций Мартина. Определим производящий ряд Грина как

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{r}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y)r^{n}.}$

Обозначим через ${\displaystyle R}$ радиус сходимости этого степенного ряда и определим для ${\displaystyle 1\leq r\leq R}$ то ${\displaystyle r}$-Martin ядро${\displaystyle {\mathcal {K}}_{o,r}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}_{r}(x,y)}{{\mathcal {G}}_{r}(o,y)}}}$.Закрытие вложения ${\displaystyle y\mapsto {\mathcal {K}}_{o,r}(\cdot ,y)}$ называется ${\displaystyle r}$-Компактификация Мартина.

Граница Мартина риманова многообразия

Для риманова многообразия граница Мартина строится, если она существует, так же, как и выше, с использованием Зеленая функция оператора Лапласа – Бельтрами ${\displaystyle \Delta }$. В этом случае снова имеется целое семейство компактификаций Мартина, связанных с операторами ${\displaystyle \Delta +\lambda }$ за ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq \lambda _{0}}$ куда ${\displaystyle \lambda _{0}}$ это нижняя часть спектра. Примеры, в которых эта конструкция может быть использована для определения компактификации, - это ограниченные области на плоскости и симметричные пространства некомпактного типа.^[4]

Связь между границами Мартина и Пуассона

Мера ${\displaystyle \nu _{o,1}}$ соответствующая постоянной функции называется гармоническая мера на границе Мартина. С этой мерой граница Мартина изоморфна границе Пуассона.

Примеры

Нильпотентные группы

Границы Пуассона и Мартина тривиальны для симметричных случайных блужданий в нильпотентных группах.^[5] С другой стороны, когда случайное блуждание не центрировано, изучение полной границы Мартина, включая минимальные функции, является гораздо менее убедительным.

Группы Ли и дискретные подгруппы

Для случайных блужданий по полупростой группе Ли (с абсолютно непрерывным по мере Хаара распределением шагов) граница Пуассона равна Граница Фюрстенберга.^[6] Граница Пуассона броуновского движения на ассоциированном симметричном пространстве также является границей Фюрстенберга.^[7] Полная граница Мартина также хорошо изучена в этих случаях и всегда может быть описана геометрическим образом. Например, для групп ранга один (например, группы изометрий гиперболические пространства ) полная граница Мартина совпадает с минимальной границей Мартина (ситуация в группах более высокого ранга более сложная).^[8]

Граница Пуассона Зарисский-плотный подгруппа полупростой группы Ли, например решетка, также совпадает с границей Фюрстенберга группы.^[9]

Гиперболические группы

Для случайных прогулок по гиперболическая группа, при довольно слабых предположениях о распределении ступеней, которые всегда выполняются для простого обхода (более общее условие - конечность первого момента), граница Пуассона всегда равна границе Громова. Например, пуассоновская граница свободной группы - это пространство заканчивается своего дерева Кэли.^[10] Идентификация полной границы Мартина более сложна; в случае, если случайное блуждание имеет конечный диапазон (ступенчатое распределение поддерживается на конечном множестве), граница Мартина совпадает с минимальной границей Мартина, и обе совпадают с границей Громова.

Примечания

1. Кайманович 1996 г..
2. Кайманович 1996 г., Раздел 2.7.
3. Кайманович 1996 г., Раздел 1.2.
4. Гиварч, Джи и Тейлор, Глава VI. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFGuivarc'hJiTaylor (помощь)
5. Кайманович 1996 г., Раздел 1.5.
6. Кайманович 1996 г., Раздел 2.8.
7. Фюрстенберг 1963.
8. Гиварч, Джи и Тейлор 1998.
9. Кайманович 2000, Теорема 10.7.
10. Кайманович 2000, Теорема 7.4.

Рекомендации

• Баллманн, Вернер; Ледраппье, Франсуа (1994). «Граница Пуассона для многообразий ранга один и их кокомпактные решетки». Форум по математике. 6 (3). С. 301–313. Г-Н  1269841.
• Фюрстенберг, Гарри (1963). «Формула Пуассона для полупростых групп Ли». Анна. математики. 2. 77. С. 335–386. Г-Н  0146298.
• Гиварч, Ив; Цзи, Личжэнь; Тейлор, Джон С. (1998). Компактификации симметричных пространств. Birkhäuser.
• Кайманович, Вадим А. (1996). «Границы инвариантных марковских операторов: проблема идентификации». У Полликотта, Марка; Шмидт, Клаус (ред.). Эргодическая теория Z^d действия (Warwick, 1993–1994). Лондонская математика. Soc. Лекция Сер. 228. Cambridge Univ. Press, Кембридж. С. 127–176. Г-Н  1411218.
• Кайманович, Вадим А. (2000). «Формула Пуассона для групп с гиперболическими свойствами». Анна. математики. 2. 152. С. 659–692. Г-Н  1815698.