Теорема о полиномиальном остатке - Polynomial remainder theorem - Wikipedia

В алгебра, то теорема о полиномиальном остатке или же маленькая теорема Безу (названный в честь Этьен Безу )[1] это приложение Евклидово деление многочленов. В нем говорится, что остаток от деления многочлен по линейный полином равно Особенно, это делитель из если и только если [2] свойство, известное как факторная теорема.

Примеры

Пример 1

Позволять . Полиномиальное деление к дает частное а остальное . Следовательно, .

Пример 2

Покажите, что теорема о полиномиальном остатке верна для произвольного полинома второй степени с помощью алгебраических манипуляций:

Умножая обе стороны на (Икс − р) дает

.

С остаток, мы действительно показали, что .

Доказательство

Теорема о полиномиальном остатке следует из теоремы Евклидово деление, который, учитывая два полинома ж(Икс) (дивиденд) и грамм(Икс) (делитель), утверждает существование (и единственность) частного Q(Икс) и остаток р(Икс) такой, что

Если делитель где r - постоянная, то либо р(Икс) = 0 или его степень нулевая; в обоих случаях, р(Икс) постоянная, не зависящая от Икс; то есть

Параметр в этой формуле получаем:

Несколько иное доказательство, которое некоторым может показаться более элементарным, начинается с наблюдения, что это линейная комбинация условий формы каждый из которых делится на поскольку

Приложения

Теорема полиномиального остатка может использоваться для вычисления вычисляя остаток, . Несмотря на то что полиномиальное деление в столбик труднее, чем оценить функция сам, синтетическое подразделение вычислительно проще. Таким образом, функция может быть «дешевле» вычислена с использованием синтетического деления и теоремы о полиномиальном остатке.

В факторная теорема - еще одно приложение теоремы об остатке: если остаток равен нулю, то линейный делитель является множителем. Повторное применение теоремы о факторах может быть использовано для факторизации многочлена.[3]

Рекомендации

  1. ^ Петр Рудницкий (2004). "Маленькая теорема Безу (факторная теорема)" (PDF). Формализованная математика. 12 (1): 49–58.
  2. ^ Ларсон, Рон (2014), колледж алгебры, Cengage Learning
  3. ^ Ларсон, Рон (2011), Precalculus с ограничениями, Cengage Learning