Позиционное голосование - Positional voting

Часть Политика серии
Избирательные системы
Цветной ящик для голосования. Svg Политический портал

Позиционное голосование это рейтинговое голосование избирательная система в котором варианты получают баллы в зависимости от их позиции в рейтинге в каждом бюллетене и вариант с наибольшим количеством очков в целом побеждает.[1]

Голосование и подсчет

При позиционном голосовании избиратели заполняют рейтинговое голосование выражая свои предпочтения в порядке ранжирования. Ранговому положению каждого предпочтения избирателя присваивается определенный фиксированный вес. Как правило, чем выше рейтинг предпочтения, тем больше очков оно стоит. Иногда оно может иметь такой же вес, что и предпочтение с более низким рейтингом, но оно никогда не приносит меньше очков.

Обычно от каждого избирателя требуется выразить уникальный порядковый предпочтение каждого варианта бюллетеня в строгом порядке убывания ранга. Однако конкретная позиционная система голосования может позволить избирателям усечь свои предпочтения после того, как они выразили одно или несколько из них, и оставить остальные варианты без рейтинга и, следовательно, бесполезными. Точно так же некоторые другие системы могут ограничивать количество выражаемых предпочтений. Например, в Конкурс песни Евровидение только их десять лучших предпочтений оцениваются каждой страной, хотя в конкурсе участвуют более десяти песен. Опять же, предпочтения без рейтинга не имеют значения. При позиционном голосовании бюллетени с рейтингом и равными возможностями обычно считаются недействительными.

Процесс подсчета прост. За все предпочтения, отданные избирателями, начисляются баллы, соответствующие их ранговому положению. Затем подсчитываются все баллы за каждый вариант, и победителем становится тот, у кого больше баллов. Если вместо этого требуется несколько победителей (W) после подсчета, выбираются W вариантов с наивысшим рейтингом. Позиционное голосование - это не только средство определения единственного победителя, но и метод преобразования наборов индивидуальных предпочтений (рейтинговых бюллетеней) в один коллективный и полностью упорядоченный набор. Возможно и законно, чтобы варианты были связаны в этом результирующем наборе; даже на первом месте.

Пример

Рассмотрим позиционное голосование для выбора единственного победителя из трех вариантов A, B и C. Никакое усечение или ничья не допускаются, и первое, второе и третье предпочтение здесь дает 4, 2 и 1 очко соответственно. Затем существует шесть различных способов, которыми каждый избиратель может расположить эти варианты в порядке очереди. 100 избирателей проголосовали с указанием рейтинговых бюллетеней следующим образом:

Количество бюллетенейПервое предпочтениеВторое предпочтениеТретье предпочтение
24АBC
18АCB
12BАC
16BCА
20CАB
10CBА

После закрытия голосования подсчитываются баллы, присужденные избирателями, и варианты оцениваются в соответствии с общим количеством баллов.

ВариантОчки для подсчетаОбщийОбщий рейтинг
А(24 + 18) х 4 + (12 + 20) х 2 + (16 + 10) х 1258Первый
B(12 + 16) х 4 + (24 + 10) х 2 + (18 + 20) х 1218В третьих
C(20 + 10) х 4 + (18 + 16) х 2 + (24 + 12) х 1224Второй

Таким образом, вариант А, имеющий наивысший результат, является здесь победителем. Обратите внимание, что результат выборов также генерирует полное ранжирование всех вариантов.

Распределение точек

Для позиционного голосования любое распределение баллов по ранговым позициям действительно при условии, что они являются общими для каждого рейтингового голосования и соблюдены два основных условия.[1] Во-первых, ценность первого предпочтения (позиция самого высокого ранга) должна быть больше, чем ценность последнего предпочтения (позиция самого низкого ранга). Во-вторых, для любых двух соседних рангов нижняя не должна стоить больше, чем более высокая. Действительно, для большинства избирательных систем с позиционным голосованием большее из двух соседних предпочтений имеет значение, которое больше, чем нижнее, что удовлетворяет обоим критериям.

Однако некоторые нерейтинговые системы могут быть математически проанализированы как позиционные при условии, что неявным связям присваивается одинаковое значение предпочтения и ранжирование; видеть ниже.

Классическим примером избирательной системы с позиционным голосованием является Граф Борда.[1] Как правило, для выборов с одним победителем с N кандидатами первое предпочтение приносит N очков, второе предпочтение N - 1 балл, третье предпочтение N - 2 балла и так далее до последнего (N-го) предпочтения, которое стоит всего 1. точка. Так, например, при выборах из четырех кандидатов баллы равны соответственно 4, 3, 2 и 1.

Математически значение балла или взвешивание (wп), связанная с данной ранговой позицией (n), определяется ниже; где вес первого предпочтения равен «а», а общая разница - «d».

шп = a- (n-1) d, где a = N (количество кандидатов)

Значение первого предпочтения не обязательно должно быть N. Иногда оно устанавливается равным N - 1, так что последнее предпочтение имеет нулевое значение. Хотя это удобно для подсчета, нет необходимости фиксировать общую разницу на единицу, поскольку ее конкретное значение не влияет на общий рейтинг кандидатов. Следовательно, несмотря на создание разных подсчетов, любое значение «a» или «d» для выборов с подсчетом Борда приведет к одинаковому ранжированию кандидатов.[1]

Последовательные взвешивания подсчета Борда образуют арифметическая прогрессия. Альтернативный математический последовательность известный как геометрическая прогрессия также может использоваться при позиционном голосовании. Здесь вместо этого существует общее отношение «r» между смежными весами. Чтобы удовлетворить двум условиям действительности, значение «r» должно быть меньше единицы, чтобы весовые коэффициенты уменьшались по мере уменьшения ранга предпочтений. Если значение первого предпочтения равно «а», вес (wп) присвоенное данной ранговой позиции (n) определяется ниже.

шп = arп-1 где 0 ≤ r <1

Например, последовательность последовательно уменьшенных вдвое весов 1, 1/2, 1/4, 1/8,…, как используется в двоичное число Система представляет собой геометрическую прогрессию с общим отношением половина (r = 1/2). Такие весовые коэффициенты по своей сути действительны для использования в позиционных системах голосования при условии, что используется допустимое общее соотношение. При использовании общего коэффициента, равного нулю, эта форма позиционного голосования имеет весовые коэффициенты 1, 0, 0, 0,… и поэтому дает результаты ранжирования, идентичные результатам для первых прошедших публикацию или множественное голосование.

В качестве альтернативы, знаменатели вышеуказанных дробных весов могли бы вместо этого образовывать арифметическую прогрессию; а именно 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и так далее до 1 / N. Эта дальнейшая математическая последовательность является примером гармоническая прогрессия. Эти конкретные нисходящие весовые коэффициенты фактически используются на выборах с позиционным голосованием N кандидатов в Парламент Науру. Для таких избирательных систем весовой коэффициент (wп) присвоенная данной ранговой позиции (n) определяется ниже; где значение первого предпочтения - «а».

шп = а2/ (a + (n-1) d) = a / (1+ (n-1) d / a), где w1 = а2/ (а + (1-1) г) = а

Для Науру (Даудалл ), первое предпочтение «а» равно единице, и общая разница «d» между соседними знаменателями также равна единице. Многие другие гармонические последовательности также могут использоваться в позиционном голосовании. Например, установка «a» на 1 и «d» на 2 генерирует обратные значения всех нечетных чисел (1, 1/3, 1/5, 1/7,…), тогда как «a» равняется 1/2 и 'd' быть 1/2 производит те из всех четных чисел (1/2, 1/4, 1/6, 1/8,…).

Помимо этих трех стандартных типов математической прогрессии (арифметической, геометрической и гармонической), существует бесчисленное множество других последовательностей, которые могут использоваться при позиционном голосовании. Два критерия достоверности требуют только, чтобы последовательность монотонно убывает с убыванием ранга. Такая последовательность является «строгой», когда никакие два смежных веса не равны по значению. Существует много целочисленных последовательностей, которые монотонно увеличиваются, поэтому, принимая обратное значение каждого целого числа, тем самым генерируется монотонно убывающая последовательность. Например, взяв обратное от каждого числа в Последовательность Фибоначчи (за исключением начальных номеров 0 и 1) производит действительную позиционную последовательность голосования 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8 и так далее.

Формулы математической прогрессии необходимы для определения весовых коэффициентов предпочтений избирательной системы с позиционным голосованием, в которой количество вариантов или кандидатов не определено или не ограничено. Однако на реальных выборах количество предпочтений определяется до голосования, поэтому каждому положению в рейтинге может быть присвоен произвольный вес при условии, что полученная последовательность действительна. Классическим примером такого подхода является уникальная позиционная система голосования, используемая в Конкурс песни Евровидение. Здесь значение «а» первого предпочтения оценивается в 12 баллов, а второе - 10 баллов. Следующие восемь последовательных предпочтений дают 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 очко. Все остальные предпочтения получают ноль баллов. Хотя эта последовательность предпочтений является монотонной, как и все действительные, она не является «строгой», поскольку все самые низкие веса равны по значению (нулю). Подобно системе Науру, этот метод иногда называют «вариантом» подсчета Борда.

Сравнение типов прогрессии

При позиционном голосовании веса (w) последовательных предпочтений от первого до последнего монотонно снижаются с положением в ранге (n). Однако скорость снижения варьируется в зависимости от используемого типа прогрессирования. Более низкие предпочтения имеют большее влияние на результаты выборов, когда выбранная последовательность использует последовательность весов, которые относительно медленно убывают с положением в рейтинге. Чем медленнее снижаются веса, тем более согласованным и менее поляризующим становится позиционное голосование.

Относительное снижение весовых коэффициентов предпочтений в порядке убывания для четырех избирательных систем с позиционным голосованием

Эта цифра иллюстрирует такое снижение более чем десяти предпочтений для следующих четырех избирательных систем с позиционным голосованием:

  • Количество борда (где a = N = 10 и d = 1)
  • Двоичная система счисления (где a = 1 и r = 1/2)
  • Метод Науру (где a = 1 и d = 1)
  • Евровидение (только ненулевые предпочтения)

Для облегчения сравнения фактические веса были нормализованы; а именно, что первое предпочтение установлено на единицу, а другие веса в конкретной последовательности масштабируются с тем же коэффициентом 1 / a.

Относительное снижение весов в любой арифметической прогрессии постоянно, поскольку оно не является функцией общей разности «d». Другими словами, относительная разница между соседними весами фиксируется на уровне 1 / N. Напротив, значение «d» в гармонической прогрессии действительно влияет на скорость его снижения. Чем выше его значение, тем быстрее опускаются веса. Принимая во внимание, что чем ниже значение общего отношения «r» для геометрической прогрессии, тем быстрее снижаются его веса.

Веса позиций цифр в двоичной системе счисления были выбраны здесь, чтобы выделить пример геометрической прогрессии в позиционном голосовании. Фактически, последовательные взвешивания любых цифровая система счисления можно использовать, поскольку все они представляют собой геометрические прогрессии. Например, в двоичной, троичной, восьмеричной и десятичной системах счисления используется основание ‘R’ 2, 3, 8 и 10 соответственно. Значение «R» также является обычным соотношением геометрической прогрессии, возрастающей в порядке ранжирования, а «r» - дополнительным общим соотношением, убывающим в ранге. Следовательно, «r» является обратной величиной «R», а отношения «r» равны соответственно 1/2, 1/3, 1/8 и 1/10 для этих позиционных систем счисления при использовании в позиционном голосовании.

Поскольку он имеет наименьший основание системы счисления, скорость снижения весовых коэффициентов предпочтений является самой низкой при использовании двоичной системы счисления. Хотя основание системы счисления «R» (количество уникальных цифр, используемых в системе счисления) должно быть целым числом, общее отношение «r» для позиционного голосования не обязательно должно быть обратным такому целому числу. Допустимо любое значение от нуля до чуть меньше единицы. Для более медленного спуска весов, чем при использовании двоичной системы счисления, необходимо использовать общее отношение больше половины. Чем выше значение «r», тем медленнее уменьшается вес с убывающим рангом.

Анализ нерейтинговых систем

Несмотря на то, что они не относятся к категории избирательных систем с позиционным голосованием, некоторые нерейтинговые методы, тем не менее, могут быть проанализированы математически, как если бы они были, путем надлежащего распределения очков.[1] Несмотря на отсутствие ранжирования здесь, все предпочтительные варианты рассматриваются как принадлежащие к более высокой из двух позиций ранга, а все остальные варианты - к более низкой. Поскольку позиция с более высоким рейтингом получает большее значение, чем позиция с более низким рейтингом, то удовлетворяются два необходимых критерия для позиционного голосования. Предпочтения, которым присвоен одинаковый ранг, не упорядочиваются в этом ранге.

Методы единственного победителя без рейтинга, которые можно проанализировать как избирательные системы с позиционным голосованием, включают:

И методы без рейтинга для выборов с несколькими победителями (с победителями W) включают:

Сравнительные примеры

Теннесси и четыре его крупных города: Мемфис на юго-западе; Нашвилл в центре, Чаттануга на юге и Ноксвилл на востоке

Представьте себе, что Теннесси проходит выборы по месту нахождения капитал. Население Теннесси сосредоточено вокруг четырех крупных городов, расположенных по всему штату. В этом примере предположим, что весь электорат живет в этих четырех городах, и каждый хочет жить как можно ближе к столице.

Кандидатами в капитал являются:

  • Мемфис, крупнейший город штата, с 42% голосовавших, но расположенный далеко от других городов
  • Нашвилл, с 26% избирателей, недалеко от центра штата
  • Knoxville, при 17% голосовавших
  • Чаттануга, с 15% голосовавших

Предпочтения избирателей можно разделить так:

42% проголосовавших
(недалеко от Мемфиса)		26% проголосовавших
(недалеко от Нэшвилла)		15% проголосовавших
(недалеко от Чаттануги)		17% проголосовавших
(недалеко от Ноксвилля)
  1. Мемфис
  2. Нашвилл
  3. Чаттануга
  4. Knoxville
  1. Нашвилл
  2. Чаттануга
  3. Knoxville
  4. Мемфис
  1. Чаттануга
  2. Knoxville
  3. Нашвилл
  4. Мемфис
  1. Knoxville
  2. Чаттануга
  3. Нашвилл
  4. Мемфис

Где жп - это вес n-го предпочтения, следующая таблица определяет итоговый расчет для каждого города:

Родной город избирателяПодсчет голосов на 1200 избирателей
Мемфис(42 Вт1 + 26 Вт4 + 15 Вт4 + 17 Вт4) х 1200/100
Нашвилл(42 Вт2 + 26 Вт1 + 15 Вт3 + 17 Вт3) х 1200/100
Чаттануга(42 Вт3 + 26 Вт2 + 15 Вт1 + 17 Вт2) х 1200/100
Knoxville(42 Вт4 + 26 Вт3 + 15 Вт2 + 17 Вт1) х 1200/100

Для первого предпочтения стоит w1 = 1, в таблице ниже указано значение каждого из четырех весов для ряда различных систем позиционного голосования, которые могут быть использованы для этих выборов:

Система голосованияш1ш2ш3ш4Сумма
Множество10001
Двоичная система счисления11/21/41/81.875
Науру метод11/21/31/42.083
Граф Борда13/41/21/42.5
Анти-множественность11103

Эти пять систем позиционного голосования перечислены в тип прогрессии порядок. Чем медленнее снижается значение весовых коэффициентов в порядке убывания ранжирования, тем больше сумма четырех весов; см. конечный столбец. Множественность убывает быстрее всего, а анти-множественность - медленнее всего.

Для каждой позиционной системы голосования итоги для каждого из четырех вариантов города определяются из двух приведенных выше таблиц и указаны ниже:

Система голосованияМемфисНашвиллЧаттанугаKnoxville
Множество504312180204
Двоичная система счисления591660564435
Науру метод678692606524
Граф Борда678882819621
Анти-множественность50412001200696

Для каждой потенциальной позиционной системы голосования, которая может быть использована на этих выборах, соответствующий общий порядок ранжирования вариантов показан ниже:

Система голосованияПервое местоВторое местоТретье местоЧетвертое место
МножествоМемфисНашвиллKnoxvilleЧаттануга
Двоичная система счисленияНашвиллМемфисЧаттанугаKnoxville
Науру методНашвиллМемфисЧаттанугаKnoxville
Граф БордаНашвиллЧаттанугаМемфисKnoxville
Анти-множественностьЧаттануга / НашвиллKnoxvilleМемфис

В этой таблице подчеркивается важность тип прогрессии в определении выигрышного исхода. Поскольку все избиратели решительно за или против Мемфиса, это очень «поляризованный» вариант, поэтому Мемфис финиширует первым при множественности и последним при анти-множественности. Учитывая его центральное расположение, Нэшвилл является здесь «консенсусным» вариантом. Он выигрывает по счету Борда и двум другим неполяризованным системам.

Оценка по критериям системы голосования

Позиционное голосование как класс систем голосования можно сравнить с объективной оценкой. математические критерии оценить его сильные и слабые стороны по сравнению с другими методами выборов с одним победителем.

Позиционное голосование удовлетворяет следующим критериям:

Но он не удовлетворяет следующим критериям:

В соответствии с Теорема о невозможности Эрроу, никакая рейтинговая система голосования не может удовлетворять всем следующим четырем критериям при коллективном ранжировании трех или более альтернатив:

До определения предпочтений избирателей системы голосования, которые рассматривают всех избирателей как равных и всех кандидатов как равных, соответствуют первым двум критериям, указанным выше. Таким образом, как и любая другая рейтинговая система, позиционное голосование не может пройти обе из двух других. это Парето эффективный но не независимо от нерелевантных альтернатив. Этот сбой означает, что добавление или удаление не выигравшего (нерелевантного) кандидата может повлиять на то, кто победит на выборах, несмотря на то, что ранжированные предпочтения всех избирателей остаются прежними.

Пример IIA

Рассмотрим позиционное голосование с тремя кандидатами A, B и C, где первое, второе и третье предпочтение приносит 4, 2 и 1 балл соответственно. 12 избирателей заполнили свои рейтинговые бюллетени следующим образом:

Количество бюллетенейПервое предпочтениеВторое предпочтениеТретье предпочтение
5АBC
4BCА
3CАB

Исход выборов, следовательно, таков:

КандидатОчки для подсчетаОбщийОбщий рейтинг
А(5 х 4) + (3 х 2) + (4 х 1)30Первый
B(4 х 4) + (5 х 2) + (3 х 1)29Второй
C(3 х 4) + (4 х 2) + (5 х 1)25В третьих

Следовательно, кандидат A является единственным победителем, а кандидаты B и C - двумя проигравшими. В качестве альтернативы, не имеющей отношения к делу (проигравший), то, участвует ли B в конкурсе или нет, не должно иметь значения для победы A при условии, что система голосования соответствует требованиям IIA.

После повторного проведения выборов без кандидата B с сохранением правильного ранжирования предпочтений для A и C 12 бюллетеней теперь подаются следующим образом:

Количество бюллетенейПервое предпочтениеВторое предпочтениеТретье предпочтение
5АC-
4CА-
3CА-

Итоги повторных выборов теперь:

КандидатОчки для подсчетаОбщийОбщий рейтинг
А(5 х 4) + (7 х 2)34Второй
C(7 х 4) + (5 х 2)38Первый

Учитывая снятие кандидата B, победителем теперь является C, а не A. Независимо от конкретных баллов, присужденных ранговым позициям предпочтений, всегда есть некоторые случаи, когда добавление или удаление нерелевантной альтернативы изменяет результат выборы. Следовательно, позиционное голосование не соответствует требованиям IIA.

Пример IoC

Позиционное голосование также не позволяет независимость от клонов (IoC) критерий. В стратегическая номинация клонов с большой вероятностью существенно повлияет на исход выборов, и часто это делается намеренно. Клон - это номинально идентичный кандидату кандидату, уже стоящему на выборах, и избиратели не могут различить их, если не проинформированы о том, какой из двух является клоном. Поскольку равные рейтинги недопустимы, эти два кандидата должны быть ранжированы избирателями, занимающими соседние позиции. Клонирование вполне может повысить или понизить коллективный рейтинг любого неклонированного кандидата.

Рассмотрим выборы с позиционным голосованием, в которых могут соревноваться три кандидата. Всего 12 проголосовавших, и первое, второе и третье предпочтение приносит 4, 2 и 1 очко соответственно.

В этом первом сценарии выдвигаются два кандидата A и B, но ни один клон не участвует в конкурсе. Избиратели опустили свои рейтинговые бюллетени следующим образом:

Количество бюллетенейПервое предпочтениеВторое предпочтениеТретье предпочтение
6АB-
6BА-

Исход выборов, следовательно, таков:

КандидатОчки для подсчетаОбщийОбщий рейтинг
А(6 х 4) + (6 х 2)36Первый равный
B(6 х 4) + (6 х 2)36Первый равный

При равной поддержке между A и B неизбежно будет ничья за первое место.

Предположим, B, предвидя эту ничью, решил создать своего клона. Выдвинутые кандидаты теперь A, B1 и B2. Поскольку избиратели не могут различить B1 и B2, они просто имеют шанс получить рейтинг B1 над B2 как предпочесть B2 над B1. Во втором сценарии 12 бюллетеней теперь подаются следующим образом:

Количество бюллетенейПервое предпочтениеВторое предпочтениеТретье предпочтение
3АB1B2
3АB2B1
3B1B2А
3B2B1А

Теперь новый результат выборов:

КандидатОчки для подсчетаОбщийОбщий рейтинг
А(6 х 4) + (0 х 2) + (6 х 1)30Первый
B1(3 х 4) + (6 х 2) + (3 х 1)27Второй равный
B2(3 х 4) + (6 х 2) + (3 х 1)27Второй равный

Добавив своего клона, B передал победу кандидату A. Этот контрпродуктивный эффект «спойлера» или акт членовредительства называется разделение голосов.

Чтобы продвинуться на первое место, B должен вместо этого проинструктировать всех своих сторонников всегда отдавать предпочтение одному из своих кандидатов (скажем, B1) над другим (B2). В этом третьем сценарии 12 бюллетеней теперь подаются следующим образом:

Количество бюллетенейПервое предпочтениеВторое предпочтениеТретье предпочтение
3АB1B2
3АB2B1
6B1B2А

Теперь пересмотренный результат выборов:

КандидатОчки для подсчетаОбщийОбщий рейтинг
А(6 х 4) + (0 х 2) + (6 х 1)30Второй
B1(6 х 4) + (3 х 2) + (3 х 1)33Первый
B2(0 х 4) + (9 х 2) + (3 х 1)21В третьих

«Команда» B сигнализирует своим сторонникам - но не сторонникам A - какого из двух кандидатов она хочет победить, B достиг своей цели - одержать победу для B.1. Без клона A и B имеют равное количество первых и вторых предпочтений. Внедрение клона B2 (нерелевантная альтернатива) отодвинула вторые предпочтения для A на третье место, в то время как предпочтения для «команды» B (B или B1) не изменяются в первом и третьем сценариях. Это умышленное действие, направленное на то, чтобы «похоронить» А и продвигать себя, называется объединение. Обратите внимание: если А сигнализирует своим сторонникам всегда предпочитать В2 над B1 в ответном нападении «око за око» восстанавливается исходное равенство между А и «командой» Б.

В большей или меньшей степени все системы позиционного голосования уязвимы для работы в команде; за единственным исключением, эквивалентного множественному числу. Поскольку значение имеют только первые предпочтения, использование клонов для «похоронения» оппонентов по рангу никогда не влияет на результаты выборов. Однако именно потому, что только первые предпочтения имеют какое-либо значение, вместо этого множественность особенно чувствительна к разделению голосов. В меньшей степени многие другие системы позиционного голосования также подвержены влиянию кандидатов-«спойлеров». Хотя подсчет Борда по своей природе уязвим для объединения в команду, он неуязвим для разделения голосов. [1]

Примечания

Дональд Г. Саари опубликовал различные работы, математически анализирующие избирательные системы с позиционным голосованием. Основным методом, исследованным в его анализе, является подсчет Борда.

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Саари, Дональд Г. (1995). Базовая геометрия голосования. Springer-Verlag. С. 101–103. ISBN  3-540-60064-7.

внешняя ссылка