Положительный полином - Positive polynomial - Wikipedia

Эта статья посвящена положительным многочленам и положительным теоремам, подобным теоремам. Для Кривина – Стенгле Positivstellensatz см. Кривино – Стенгле Позитивстеллензац.

В математике положительный многочлен на конкретном множестве многочлен чьи значения положительны на этом множестве.

Позволять п быть полиномом от п переменные с действительными коэффициентами и пусть S быть подмножеством п-размерный Евклидово пространство ℝ^п. Мы говорим, что:

• п является положительный на S если п(Икс)> 0 для каждого Икс ∈ S.
• п является неотрицательный на S если п(Икс) ≥ 0 для каждого Икс ∈ S.
• п является нуль на S если п(Икс) = 0 для каждого Икс ∈ S.

Для определенных наборов Sсуществуют алгебраические описания всех полиномов, положительных, неотрицательных или нулевых на S. Такое описание является позитивный, nichtnegativstellensatz, или же nullstellensatz. В этой статье основное внимание уделяется первым двум описаниям. Для последнего см. Nullstellensatz Гильберта для самого известного nullstellensatz.

Примеры positivstellensatz (и nichtnegativstellensatz)

• Глобально положительные полиномы и разложение по сумме квадратов.
  • Каждый действительный многочлен от одной переменной и четной степени неотрицателен на тогда и только тогда, когда он является суммой двух квадратов действительных многочлены в одной переменной.^[1] Эта эквивалентность не распространяется на многочлен с более чем одной переменной: например, Моцкин многочлен Икс⁴Y² + Икс²Y⁴ − 3Икс²Y² + 1 неотрицательно на ℝ² но не является суммой квадратов элементов из ℝ [Икс, Y].^[2]
  • Действительный многочлен от п переменные неотрицательны на ℝ^п тогда и только тогда, когда это сумма квадратов действительных рациональный функции в п переменные (см. Семнадцатая проблема Гильберта и решение Артина^[3])
  • Предположим, что п ∈ ℝ [Икс₁, ..., Икс_п] однородна четной степени. Если он положителен на ℝ^п {0}, тогда существует целое число м такой, что (Икс₁² + ... + Икс_п²)^м п представляет собой сумму квадратов элементов из ℝ [Икс₁, ..., Икс_п].^[4]
• Полиномы положительные на многогранники.
  • Для полиномов степени ≤ 1 имеем следующий вариант Лемма Фаркаша: Если ж, грамм₁, ..., грамм_k имеют степень ≤ 1 и ж(Икс) ≥ 0 для каждого Икс ∈ ℝ^п удовлетворение грамм₁(Икс) ≥ 0, ..., грамм_k(Икс) ≥ 0, то существуют неотрицательные действительные числа c₀, c₁, ..., c_k такой, что ж = c₀ + c₁грамм₁ + ... + c_kграмм_k.
  • Теорема Поли:^[5] Если п ∈ ℝ [Икс₁, ..., Икс_п] однородна и п положительна на множестве {Икс ∈ ℝ^п | Икс₁ ≥ 0, ..., Икс_п ≥ 0, Икс₁ + ... + Икс_п ≠ 0}, то существует целое число м такой, что (Икс₁ + ... + Икс_п)^м п имеет неотрицательные коэффициенты.
  • Теорема Гендельмана:^[6] Если K компактный многогранник в евклидовом d-пространство, определяемое линейными неравенствами грамм_я ≥ 0, а если ж является многочленом от d переменные, положительные на K, тогда ж может быть выражена как линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами произведений членов {грамм_я}.
• Полиномы положительные на полуалгебраические множества.
  • Самый общий результат Positivstellensatz Стенгла.
  • Для компактных полуалгебраических множеств имеем Positivstellensatz Шмюдгена,^[7][8] Позитивные мысли Путинара^[9][10] и позитивные мысли Василеску.^[11] Дело в том, что знаменатели не нужны.
  • Для красивых компактных полуалгебраических множеств малой размерности существует nichtnegativstellensatz без знаменателей.^[12][13][14]

Обобщения positivstellensatz

Positivstellensatz также существует для тригонометрических полиномов, матричных полиномов, полиномов от свободных переменных, различных квантовых полиномов и т. Д.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

• Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 pp. ISBN  3-540-64663-9.
• Маршалл, Мюррей. «Положительные многочлены и суммы квадратов». Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 с. ISBN  978-0-8218-4402-1, ISBN  0-8218-4402-4.

Примечания

1. Бенуа, Оливье (2017). «Запись положительных полиномов в виде суммы (нескольких) квадратов». Информационный бюллетень EMS. 2017-9 (105): 8–13. Дои:10.4171 / NEWS / 105/4. ISSN  1027-488X.
2. Моцкин Т. С. Арифметико-геометрическое неравенство. Неравенства 1967 г. (Proc. Sympos. База ВВС Райт-Паттерсон, Огайо, 1965), стр. 205–224.
3. Э. Артин, Uber die Zerlegung Definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 5 (1927), 85–99.
4. Б. Резник, Равномерные знаменатели в семнадцатой проблеме Гильберта. Математика. Z.220 (1995), нет. 1, 75–97.
5. G. Pólya, Über Positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, в: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, стр. 309–313.
6. Д. Гендельман. Представление многочленов положительными линейными функциями на компактных выпуклых многогранниках. Pacific J. Math. 132 (1988), нет. 1, 35–62.
7. К. Шмюдген. "The Kпроблема моментов для компактных полуалгебраических множеств », Math. Ann. 289 (1991), № 2, 203–206.
8. Т. Вёрманн. "Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Дортмунд 1998.
9. М. Путинар, "Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах". Indiana Univ. Математика. Дж. 42 (1993), нет. 3, 969–984.
10. Т. Якоби, "Теорема о представлении некоторых частично упорядоченных коммутативных колец". Математика. Z. 237 (2001), нет. 2, 259–273.
11. Василеску, Ф.-Х. «Спектральные меры и проблемы моментов». Спектральный анализ и его приложения, 173–215, Theta Ser. Adv. Математика., 2, Theta, Bucharest, 2003. См. Теорему 1.3.1.
12. К. Шайдерер, "Суммы квадратов регулярных функций на вещественных алгебраических многообразиях". Пер. Амер. Математика. Soc. 352 (2000), нет. 3, 1039–1069.
13. К. Шайдерер, "Суммы квадратов вещественных алгебраических кривых". Математика. Z. 245 (2003), нет. 4, 725–760.
14. К. Шайдерер, "Суммы квадратов на вещественных алгебраических поверхностях". Manuscripta Math. 119 (2006), нет. 4, 395–410.

Смотрите также

• Полиномиальный SOS
• Семнадцатая проблема Гильберта