Функция подсчета простых чисел - Prime-counting function

В математика, то функция подсчета простых чисел это функция подсчитывая количество простые числа меньше или равно некоторым настоящий номер Икс.^[1][2] Обозначается он π(Икс) (не имеющий отношения к номер π ).

Ценности π(п) для первых 60 натуральных чисел

История

Большой интерес в теория чисел это скорость роста функции счета простых чисел.^[3][4] Это было предполагаемый в конце 18 века Гаусс и по Legendre быть приблизительно

${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}}$

в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.}$

Это заявление является теорема о простых числах. Эквивалентное утверждение

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}$

где li - это логарифмический интеграл функция. Теорема о простых числах была впервые доказана в 1896 г. Жак Адамар и по Шарль де ла Валле Пуссен самостоятельно, используя свойства Дзета-функция Римана представлен Риман в 1859 году. Доказательства теоремы о простых числах без использования дзета-функции или комплексный анализ были найдены около 1948 г. Атле Сельберг и по Пол Эрдёш (по большей части самостоятельно).^[5]

В 1899 г. де ла Валле Пуссен доказал, что (см. также теорему 23 из^[6])

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

для некоторой положительной постоянной а. Здесь, О(...) это большой О обозначение.

Более точные оценки ${\displaystyle \pi (x)\!}$ теперь известны. Например, в 2002 г. Кевин Форд доказал, что^[7]

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\ln x)^{\frac {3}{5}}(\ln \ln x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right)}$.

В 2016 году Тим Труджян доказал явную верхнюю границу разницы между ${\displaystyle \pi (x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\ln x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\ln x}{6.455}}}\right)}$

за ${\displaystyle x\geq 229}$.^[8]

Для большинства значений ${\displaystyle x}$ нас интересует (т.е. когда ${\displaystyle x}$ не безосновательно большой) ${\displaystyle \operatorname {li} (x)\!}$ больше, чем ${\displaystyle \pi (x)\!}$. Тем не мение, ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ как известно, меняет знак бесконечно много раз. Для обсуждения этого см. Число Скьюза.

Точная форма

Имея огромное значение, Бернхард Риманн доказано что функция подсчета простых чисел в точности^[9]

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })}$

куда

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})}$,

μ(п) это Функция Мёбиуса, ли (Икс) это логарифмическая интегральная функция, ρ индексирует каждый ноль Дзета-функция Римана, и ли (Икс^{р / п}) не оценивается с срезанная ветка но вместо этого считается Ei (ρ/п пер Икс) куда Ei (Икс) это экспоненциальный интеграл. Эквивалентно, если собрать тривиальные нули и взять сумму Только над нетривиальными нулями ρ из Дзета-функция Римана, тогда π(Икс) может быть написано

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln {x}}}}$.

В Гипотеза Римана предполагает, что каждый такой нетривиальный нуль лежит вдоль Re (s) = 1/2.

Таблица π(Икс), Икс / ln Икс, а li (Икс)

В таблице показано, как три функции π(Икс), Икс / ln Икс и li (Икс) сравните в степени 10. См. также,^[3][10][11] и^[12]

Икс	π(Икс)	π(Икс) − Икс / ln Икс	ли (Икс) − π(Икс)	Икс / π(Икс)	x / ln x% Ошибка
10	4	−0.3	2.2	2.500	-7.5%
10^2	25	3.3	5.1	4.000	13.20%
10^3	168	23	10	5.952	13.69%
10^4	1,229	143	17	8.137	11.64%
10^5	9,592	906	38	10.425	9.45%
10^6	78,498	6,116	130	12.740	7.79%
10^7	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
10^8	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
10^9	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
10^10	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
10^11	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
10^12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
10^13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
10^14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
10^15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
10^16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
10^17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116	2.63%
10^18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
10^19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725	2.34%
10^20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028	2.22%
10^21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
10^22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
10^23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
10^24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
10^25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
10^26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
10^27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%

График, показывающий соотношение функции счета простых чисел π(Икс) к двум его приближениям, Икс/ ln Икс и Ли (Икс). В качестве Икс увеличивается (примечание Икс ось логарифмическая), оба отношения стремятся к 1. Отношение для Икс/ ln Икс сходится сверху очень медленно, а отношение для Li (Икс) снизу сходится быстрее.

в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей, то π(Икс) столбец - это последовательность OEIS: A006880, π(Икс) − Икс/ ln Икс это последовательность OEIS: A057835, и ли (Икс) − π(Икс) это последовательность OEIS: A057752.

Значение для π(10²⁴) был первоначально вычислен Дж. Бете, Дж. Франке, A. Jost и T. Kleinjung, предполагая Гипотеза Римана.^[13]Позже это было безоговорочно подтверждено вычислением Д. Дж. Платта.^[14]Значение для π(10²⁵) принадлежит Ж. Бете, Дж. Франке, A. Jost и T. Kleinjung.^[15] Значение для π(10²⁶) был вычислен Д. Б. Стейплом.^[16] Все другие предыдущие записи в этой таблице также были проверены в рамках этой работы.

Значение 10²⁷ был опубликован в 2015 году Дэвидом Боугом и Ким Валиш.^[17]

Алгоритмы оценки π(Икс)

Простой способ найти ${\displaystyle \pi (x)}$, если ${\displaystyle x}$ не слишком большой, это использовать сито Эратосфена для получения простых чисел меньше или равных ${\displaystyle x}$ а потом их посчитать.

Более сложный способ поиска ${\displaystyle \pi (x)}$ связано с Legendre (с использованием принцип включения-исключения ): данный ${\displaystyle x}$, если ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ - различные простые числа, то количество целых чисел меньше или равно ${\displaystyle x}$ которые не делятся на ${\displaystyle p_{i}}$ является

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

(куда ${\displaystyle \lfloor {x}\rfloor }$ обозначает функция пола ). Следовательно, это число равно

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

когда числа ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ простые числа меньше или равны квадратному корню из ${\displaystyle x}$.

Алгоритм Мейселя – Лемера

Основная статья: Алгоритм Мейселя – Лемера

В серии статей, опубликованных между 1870 и 1885 годами, Эрнст Мейсель описал (и использовал) практический комбинаторный способ оценки ${\displaystyle \pi (x)}$. Позволять ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2},\ldots ,p_{n}}$ быть первым ${\displaystyle n}$ штрихи и обозначим через ${\displaystyle \Phi (m,n)}$ количество натуральных чисел не более ${\displaystyle m}$ которые не делятся на ${\displaystyle p_{i}}$. потом

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).}$

Учитывая натуральное число ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)}$ и если ${\displaystyle \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n}$, тогда

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).}$

Используя этот подход, Мейсель вычислил ${\displaystyle \pi (x)}$, за ${\displaystyle x}$ равно 5×10⁵, 10⁶, 10⁷, и 10⁸.

В 1959 г. Деррик Генри Лемер расширенный и упрощенный метод Мейселя. Определить, по-настоящему ${\displaystyle m}$ и для натуральных чисел ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle P_{k}(m,n)}$ как количество чисел не более м с точно k простые множители, все больше, чем ${\displaystyle p_{n}}$. Кроме того, установите ${\displaystyle P_{0}(m,n)=1}$. потом

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

где на самом деле сумма имеет лишь конечное число ненулевых членов. Позволять ${\displaystyle y}$ обозначим целое число такое, что ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}}$, и установите ${\displaystyle n=\pi (y)}$. потом ${\displaystyle P_{1}(m,n)=\pi (m)-n}$ и ${\displaystyle P_{k}(m,n)=0}$ когда ${\displaystyle k}$ ≥ 3. Следовательно,

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

Расчет ${\displaystyle P_{2}(m,n)}$ можно получить так:

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}$

,

где сумма берется по простым числам.

С другой стороны, вычисление ${\displaystyle \Phi (m,n)}$ можно сделать по следующим правилам:

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

Используя его метод и IBM 701, Лемер смог вычислить ${\displaystyle \pi \left(10^{10}\right)}$.

Дальнейшие усовершенствования этого метода внесли Лагариас, Миллер, Одлыжко, Делеглиз и Риват.^[18]

Другие функции подсчета простых чисел

Другие функции подсчета простых чисел также используются, потому что с ними более удобно работать. Одна из них - функция счета простых чисел Римана, обычно обозначаемая как ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$ или же ${\displaystyle J_{0}(x)}$. Это прыжки на 1 /п для главных держав п^п, принимая значение посередине между двумя сторонами на разрывах. Эта добавленная деталь используется, потому что тогда функция может быть определена обратным Преобразование Меллина. Формально мы можем определить ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$ к

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}{\bigg (}\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}$

куда п это простое число.

Мы также можем написать

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Lambda (x)}{\ln x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}(x^{1/n})}$

где Λ (п) это функция фон Мангольдта и

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

В Формула обращения Мебиуса затем дает

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}(x^{1/n})}$

Зная связь между журналом Дзета-функция Римана и функция фон Мангольдта ${\displaystyle \Lambda }$, и используя Формула Перрона у нас есть

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx}$

В Функция Чебышева веса простых чисел или простых степеней п^п по ln (п):

${\displaystyle \theta (x)=\sum _{p\leq x}\ln p}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{n}\leq x}\ln p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta (x^{1/n})=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$

Формулы для функций, считающих простые числа

Формулы для функций, считающих простые числа, бывают двух видов: арифметические формулы и аналитические формулы. Аналитические формулы для подсчета простых чисел были впервые использованы для доказательства теорема о простых числах. Они проистекают из работ Римана и фон Мангольдт, и обычно известны как явные формулы.^[19]

Имеем следующее выражение для ψ:

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}),}$

куда

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Здесь ρ - нули Дзета-функция Римана в критической полосе, где действительная часть ρ находится между нулем и единицей. Формула действительна для значений Икс больше единицы, что является интересующей областью. Сумма по корням условно сходится, и ее следует брать в порядке увеличения абсолютного значения мнимой части. Отметим, что та же сумма по тривиальным корням дает последний вычитаемое в формуле.

За ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$ у нас есть более сложная формула

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\ln t}}.}$

Явная формула Римана с использованием первых 200 нетривиальных нулей дзета-функции

Опять же, формула верна для Икс > 1, а ρ являются нетривиальными нулями дзета-функции, упорядоченными в соответствии с их абсолютным значением, и, опять же, последний интеграл, взятый со знаком минус, представляет собой ту же сумму, но по тривиальным нулям. Первый член li (Икс) обычный логарифмическая интегральная функция; выражение li (Икс^ρ) во втором члене следует рассматривать как Ei (ρ lnИкс), где Ei - аналитическое продолжение из экспоненциальный интеграл функция от отрицательных вещественных чисел к комплексной плоскости с ветвью, разрезанной вдоль положительных вещественных чисел.

Таким образом, Формула обращения Мебиуса дает нам^[20]

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}}$

Годен до Икс > 1, где

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

является R-функцией Римана^[21] и μ(п) это Функция Мёбиуса. Последняя серия для него известна как Грамм серии^[22][23]. Потому что ${\displaystyle \ln(x)<x}$ для всех ${\displaystyle x>0}$, этот ряд сходится для всех положительных Икс по сравнению с серией для ${\displaystyle e^{x}}$.

Δ-функция (красная линия) в логарифмической шкале

Сумма по нетривиальным дзета-нулям в формуле для ${\displaystyle \pi _{0}(x)}$ описывает колебания ${\displaystyle \pi _{0}(x),}$ а остальные члены дают "гладкую" часть функции подсчета простых чисел,^[24] так что можно использовать

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}}$

как лучший оценщик ${\displaystyle \pi (x)}$ за Икс > 1.

Амплитуда "зашумленной" части эвристически около ${\displaystyle {\sqrt {x}}/\ln x,}$ так что колебания распределение простых чисел можно ясно представить с помощью Δ-функции:

${\displaystyle \Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}.}$

Обширная таблица значений Δ (Икс) доступен.^[11]

Неравенства

Вот несколько полезных неравенств для π(Икс).

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\ln x}}}$

за Икс ≥ 17.

Левое неравенство выполняется при x ≥ 17, а правое неравенство - при x> 1. Константа 1.25506 равна ${\displaystyle {\frac {30\ln 113}{113}}}$ до 5 знаков после запятой, как ${\displaystyle {\frac {\pi (x)\ln x}{x}}}$ имеет максимальное значение при x = 113.^[25]

Пьер Дюзар доказано в 2010 году:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)}$ за ${\displaystyle x\geq 5393}$, и

${\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}}$ за ${\displaystyle x\geq 60184}$.^[26]

Вот некоторые неравенства для пй премьер, п_п. Верхняя граница получена Россером (1941),^[27] нижняя - Дусарту (1999):^[28]

${\displaystyle n(\ln(n\ln n)-1)<p_{n}<n{\ln(n\ln n)}\!}$ за п ≥ 6.

Левое неравенство выполняется при n ≥ 2, а правое - при n ≥ 6.

Приближение для пое простое число

${\displaystyle p_{n}=n(\ln(n\ln n)-1)+{\frac {n(\ln \ln n-2)}{\ln n}}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).}$

Рамануджан^[29] доказал, что неравенство

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi {\bigg (}{\frac {x}{e}}{\bigg )}}$

выполняется для всех достаточно больших значений ${\displaystyle x}$.

В ^[26], Дюзарт доказал (предложение 6.6), что для ${\displaystyle n\geq 688383}$,

${\displaystyle p_{n}\leq n\left(\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln n}}\right)}$ ,

и (предложение 6.7) что для ${\displaystyle n\geq 3}$,

${\displaystyle p_{n}\geq n\left(\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2.1}{\ln n}}\right)}$ .

Совсем недавно Дусарт^[30]доказал (теорема 5.1), что при ${\displaystyle x>1}$,

${\displaystyle \pi (x)\leq {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\ln ^{3}x}}\right)}$ ,

и это для ${\displaystyle x\geq 88789}$,

${\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}}\right)}$ .

Гипотеза Римана

В Гипотеза Римана эквивалентно гораздо более жесткой границе ошибки в оценке для ${\displaystyle \pi (x)}$, и, следовательно, к более регулярному распределению простых чисел,

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

Конкретно,^[31]

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

Смотрите также

• Константа Фояса
• Постулат Бертрана
• Гипотеза Оппермана
• Рамануджан премьер

Рекомендации

1. Бах, Эрик; Шаллит, Джеффри (1996). Алгоритмическая теория чисел. MIT Press. том 1 стр. 234 раздел 8.8. ISBN  0-262-02405-5.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Функция подсчета простых чисел». MathWorld.
3. "Сколько существует простых чисел?". Крис К. Колдуэлл. Получено 2008-12-02.
4. Диксон, Леонард Юджин (2005). История теории чисел, Vol. I: Делимость и первичность. Dover Publications. ISBN  0-486-44232-2.
5. Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1998). Классическое введение в современную теорию чисел (Второе изд.). Springer. ISBN  0-387-97329-X.
6. А. Э. Ингхэм (2000). Распределение простых чисел. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-39789-8.
7. Кевин Форд (ноябрь 2002 г.). "Интеграл Виноградова и оценки для дзета-функции Римана" (PDF). Proc. Лондонская математика. Soc. 85 (3): 565–633. Дои:10.1112 / S0024611502013655.
8. Тим Труджян (февраль 2016 г.). «Обновление члена ошибки в теореме о простых числах». Рамануджанский журнал. 39 (2): 225–234. arXiv:1401.2689. Дои:10.1007 / s11139-014-9656-6.
9. «Колебания функции счета простых чисел pi (x)». www.primefan.ru. Получено 17 мая 2019.
10. «Таблицы значений пи (х) и пи2 (х)». Томас Оливейра и Силва. Получено 2008-09-14.
11. "Ценности π(Икс) и Δ (Икс) для различных значенийИкс". Кульша Андрей Валерьевич. Получено 2008-09-14.
12. «Таблица значений пи (х)». Ксавье Гурдон, Паскаль Себа, Патрик Демишель. Получено 2008-09-14.
13. «Условное вычисление числа пи (10²⁴)". Крис К. Колдуэлл. Получено 2010-08-03.
14. Платт, Дэвид Дж. (2012). "Вычислительная техника π(Икс) Аналитически) ». arXiv:1203.5712 [math.NT ].
15. "Сколько существует простых чисел?". J. Buethe. Получено 2015-09-01.
16. Стейпл, Дуглас (19 августа 2015 г.). Комбинаторный алгоритм вычисления pi (x) (Тезис). Университет Далхаузи. Получено 2015-09-01.
17. Валиш, Ким (6 сентября 2015 г.). "Новая подтвержденная запись функции подсчета простых чисел числа пи (10 ^ 27)". Форум о Мерсенне.
18. Марк Делеглиз; Джоэл Риват (январь 1996 г.). "Вычислительная техника π(Икс): Метод Мейселя, Лемера, Лагариаса, Миллера, Одлыжко » (PDF). Математика вычислений. 65 (213): 235–245. Дои:10.1090 / S0025-5718-96-00674-6.
19. Титчмарш, Э. К. (1960). Теория функций, 2-е изд.. Издательство Оксфордского университета.
20. Ризель, Ганс; Гёль, Гуннар (1970). «Некоторые вычисления, связанные с формулой простых чисел Римана». Математика вычислений. Американское математическое общество. 24 (112): 969–983. Дои:10.2307/2004630. ISSN  0025-5718. JSTOR  2004630. МИСТЕР  0277489.
21. Вайсштейн, Эрик В. «Функция счета простых чисел Римана». MathWorld.
22. Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации. Успехи в математике. 126 (2-е изд.). Birkhäuser. С. 50–51. ISBN  0-8176-3743-5.
23. Вайсштейн, Эрик В. "Серия Грамм". MathWorld.
24. «Кодирование простого распределения дзета-нулями». Мэтью Уоткинс. Получено 2008-09-14.
25. Россер, Дж. Баркли; Шенфельд, Лоуэлл (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел». Иллинойс Дж. Математика. 6: 64–94. Дои:10.1215 / ijm / 1255631807. ISSN  0019-2082. Zbl  0122.05001.
26. Дюзар, Пьер (2 февраля 2010 г.). "Оценки некоторых функций над простыми числами без R.H.". arXiv:1002.0442v1 [math.NT ].
27. Россер, Баркли (1941). «Явные оценки некоторых функций от простых чисел». Американский журнал математики. 63 (1): 211–232. Дои:10.2307/2371291. JSTOR  2371291.
28. Дюзар, Пьер (1999). "K-е простое число больше k (lnk + lnlnk-1) для k> = 2". Математика вычислений. 68 (225): 411–415. Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01037-6.
29. Берндт, Брюс К. (2012-12-06). Записные книжки Рамануджана, часть IV. Springer Science & Business Media. С. 112–113. ISBN  9781461269328.
30. Дюзар, Пьер (Январь 2018). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Рамануджанский журнал. 45 (1): 225–234. Дои:10.1007 / s11139-016-9839-4.
31. Шенфельд, Лоуэлл (1976). "Более точные оценки функций Чебышева θ(Икс) и ψ(Икс). II ». Математика вычислений. Американское математическое общество. 30 (134): 337–360. Дои:10.2307/2005976. ISSN  0025-5718. JSTOR  2005976. МИСТЕР  0457374.

внешняя ссылка

• Крис Колдуэлл, N-я Прайм Страница в Prime Pages.
• Томас Оливейра и Силва, Таблицы функций подсчета простых чисел.