Проективный объект - Projective object - Wikipedia

В теория категорий, понятие проективный объект обобщает понятие проективный модуль. Проективные объекты в абелевский категории используются в гомологическая алгебра. В двойной понятие проективного объекта - это понятие инъективный объект.

Определение

An объект в категории является проективный если для любого эпиморфизм и морфизм , есть морфизм такой, что , т.е. следующая диаграмма ездит на работу:

Проективный объект .svg

То есть каждый морфизм факторы через каждый эпиморфизм .[1]

Если C является местно маленький, т.е. в частности это набор для любого объекта Икс в C, это определение эквивалентно условию, что хом функтор (также известен как corepresentable функтор )

сохраняет эпиморфизмы.[2]

Проективные объекты в абелевых категориях

Если категория C является абелевой категорией, такой как, например, категория абелевых групп, тогда п проективен тогда и только тогда, когда

является точный функтор, куда Ab это категория абелевы группы.

Абелева категория говорят, что имеет достаточно прогнозов если для каждого объекта из , есть проективный объект из и эпиморфизм из п к А или, что то же самое, короткая точная последовательность

Цель этого определения - гарантировать, что любой объект А признает проективное разрешение, т.е. (длинная) точная последовательность

где объекты проективны.

Проективность относительно ограниченных классов

Семадени (1963) обсуждает понятие проективных (и двойственно инъективных) объектов относительно так называемой бикатегории, которая состоит из пары подкатегорий «инъекций» и «сюръекций» в данной категории. C. Эти подкатегории подчиняются определенным формальным свойствам, включая требование, чтобы любая сюръекция была эпиморфизмом. Проективный объект (относительно фиксированного класса сюръекций) тогда является объектом п так что Hom (п, -) превращает фиксированный класс сюръекций (в отличие от всех эпиморфизмов) в сюръекции множеств (в обычном смысле).

Характеристики

  • В сопродукт двух проективных объектов является проективным.[3]
  • В втягивать проективного объекта является проективным.[4]

Примеры

Утверждение, что все множества проективны, эквивалентно аксиома выбора.

Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.

Позволять быть звенеть с личностью. Рассмотрим (абелеву) категорию -Мод слева -модули. Проективные объекты в -Мод точно проективные левые R-модули. Как следствие, сам является проективным объектом в -Мод. Соответственно, инъективные объекты в -Мод точно инъективные левые R-модули.

Категория левых (правых) -модулей тоже достаточно проективов. Это верно, поскольку для каждого левого (правого) -модуль мы можем взять быть свободным (и, следовательно, проективным) -модуль, генерируемый генераторной установкой за (фактически мы можем взять быть ). Тогда каноническая проекция требуется сюрприз.

Проективные объекты в категории компактные хаусдорфовы пространства точно экстремально отключенные пространства. Этот результат обусловлен Глисон (1958), с упрощенным доказательством, данным Дождевая вода (1959).

В категории Банаховы пространства и сжатий (т. е. функционалов, норма которых не превосходит 1), эпиморфизмы - это в точности отображения с плотными изображение. Вивегер (1969) показывает, что нулевое пространство является единственным проективным объектом в этой категории. Однако существуют нетривиальные пространства, проективные по отношению к классу сюръективных сжатий. В категории нормированные векторные пространства со сжатиями (и сюръективными отображениями как «сюръекциями») проективные объекты - это в точности -пространства.[5]

Рекомендации

  • Awodey, Стив (2010), Теория категорий (2-е изд.), Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, ISBN  9780199237180, OCLC  740446073
  • Глисон, Эндрю М. (1958), "Проективные топологические пространства", Иллинойсский журнал математики, 2 (4A): 482–489, Дои:10.1215 / ijm / 1255454110, МИСТЕР  0121775
  • Мак-Лейн, Сондерс (1978), Категории для рабочего математика (Второе изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 114, ISBN  1441931236, OCLC  851741862
  • Митчелл, Барри (1965). Теория категорий. Чистая и прикладная математика. 17. Академическая пресса. ISBN  978-0-124-99250-4. МИСТЕР  0202787.
  • Потховен, Кеннет (1969), "Проективные и инъективные объекты в категории банаховых пространств", Труды Американского математического общества, 22 (2): 437–438, Дои:10.2307/2037073, JSTOR  2037073
  • Rainwater, Джон (1959), «Заметка о проективных разрешениях», Труды Американского математического общества, 10 (5): 734–735, Дои:10.2307/2033466, JSTOR  2033466
  • Семадени, З. (1963), «Проективность, инъективность и двойственность», Rozprawy Mat., 36, МИСТЕР  0154832

внешняя ссылка

'"проективный объект в nLab". ncatlab.org. Получено 2017-10-17.