Псевдодополнение - Pseudocomplement

В математика, особенно в теория порядка, а псевдодополнение является одним из обобщений понятия дополнять. В решетка L с нижний элемент 0, элемент Икс ∈ L говорят, что имеет псевдодополнение если существует величайший элемент Икс* ∈ L, не пересекаются с Икс, со свойством, что Икс ∧ Икс* = 0. Более формально Икс* = max { у ∈ L | Икс ∧ у = 0}. Решетка L сам называется псевдодополненная решетка если каждый элемент L является псевдодополненным. Каждая псевдодополненная решетка обязательно ограниченный, то есть у него тоже есть 1. Поскольку псевдодополнение уникально по определению (если оно существует), решетку с псевдодополнениями можно снабдить унарной операцией * преобразования каждого элемента в его псевдодополнение; эту структуру иногда называют п-алгебра.[1][2] Однако этот последний термин может иметь другие значения в других областях математики.

Характеристики

В п-алгебра L, для всех Икс, у ∈ L:[1][2]

  • Карта Икс ↦ Икс* является антитон. В частности, 0 * = 1 и 1 * = 0.
  • Карта Икс ↦ Икс** это закрытие.
  • Икс* = Икс***.
  • (Икс∨у)* = Икс* ∧ у*.
  • (Икс∧у)** = Икс** ∧ у**.

Набор S(L) ≝ { Икс** | Икс ∈ L } называется скелет из L. S(L) является ∧-подполурешетка из L и вместе с Икс ∪ у = (Икс∨у)** = (Икс* ∧ у*) * образует Булева алгебра (дополнение в этой алгебре *).[1][2] В целом, S(L) это не подрешетка из L.[2] В дистрибутиве п-алгебра, S(L) - множество дополнен элементы L.[1]

Каждый элемент Икс с собственностью Икс* = 0 (или эквивалентно, Икс** = 1) называется плотный. Каждый элемент формы Икс ∨ Икс* плотный. D(L), множество всех плотных элементов в L это фильтр из L.[1][2] Распределительный п-алгебра является логической тогда и только тогда, когда D(L) = {1}.[1]

Решетки с псевдодополнениями образуют разнообразие.[2]

Примеры

  • Каждый конечный распределительная решетка является псевдодополненным.[1]
  • Каждый Каменная алгебра является псевдодополненным. Фактически, алгебру Стоуна можно определить как псевдодополненную дистрибутивную решетку L в котором любое из следующих эквивалентных утверждений верно для всех Икс, у ∈ L:[1]
    • S(L) является подрешеткой L;
    • (Икс∧у)* = Икс* ∨ у*;
    • (Икс∨у)** = Икс** ∨ у**;
    • Икс* ∨ Икс** = 1.
  • Каждый Алгебра Гейтинга является псевдодополненным.[1]
  • Если Икс это набор, открытая топология набора на Икс представляет собой решетку с псевдодополнениями (и дистрибутивную), в которой встреча и соединение являются обычным объединением и пересечением открытых множеств. Псевдодополнение открытого множества А это интерьер из набор дополнений из А. Более того, плотные элементы этой решетки - это в точности плотные открытые подмножества в топологическом смысле.[2]

Относительное псевдодополнение

А относительное псевдодополнение из а относительно б это максимальный элемент c такой, что а∧c≤б. Этот бинарная операция обозначается а→б. Решетка с псевдодополнением для каждых двух элементов называется импликативная решетка, или же Решетка Брауэра. В общем случае импликативная решетка может не иметь минимального элемента, если такой элемент существует, то псевдодополнение а* можно определить с использованием относительного псевдодополнения как а → 0.[3]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я Т.С. Блит (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры. Springer Science & Business Media. Глава 7. Псевдодополнение; Алгебры Стоуна и Гейтинга. С. 103–119. ISBN  978-1-84628-127-3.
  2. ^ а б c d е ж грамм Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы. CRC Press. С. 63–70. ISBN  978-1-4398-5129-6.
  3. ^ Биркофф, Гарретт (1973). Теория решеток (3-е изд.). AMS. п. 44.