Информация Quantum Fisher - Quantum Fisher information - Wikipedia

В квантовая информация Фишера центральная величина в квантовая метрология и является квантовым аналогом классического Информация Fisher.^{[1][2][3][4][5]} Квантовая информация Фишера ${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}$ из государственный ${\displaystyle \varrho }$ с уважением к наблюдаемый ${\displaystyle A}$ определяется как

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\sum _{k,l}{\frac {(\lambda _{k}-\lambda _{l})^{2}}{(\lambda _{k}+\lambda _{l})}}\vert \langle k\vert A\vert l\rangle \vert ^{2},}$

куда ${\displaystyle \lambda _{k}}$ и ${\displaystyle \vert k\rangle }$ - собственные значения и собственные векторы матрицы плотности ${\displaystyle \varrho ,}$ соответственно.

Когда наблюдаемое порождает унитарный преобразование системы с параметром ${\displaystyle \theta }$ из начального состояния ${\displaystyle \varrho _{0}}$,

${\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),}$

квантовая информация Фишера ограничивает достижимую точность статистической оценки параметра ${\displaystyle \theta }$ через квантовая граница Крамера – Рао в качестве

${\displaystyle (\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}},}$

куда ${\displaystyle m}$ - количество независимых повторений.

Часто бывает желательно оценить величину неизвестного параметра. ${\displaystyle \alpha }$ который контролирует силу гамильтониана системы ${\displaystyle H=\alpha A}$ относительно известной наблюдаемой ${\displaystyle A}$ в течение известного динамического времени ${\displaystyle t}$. В этом случае определяя ${\displaystyle \theta =\alpha t}$, так что ${\displaystyle \theta A=tH}$, означает оценки ${\displaystyle \theta }$ можно напрямую перевести в оценки ${\displaystyle \alpha }$.

Связь с симметричной логарифмической производной

Квантовая информация Фишера равна математическому ожиданию ${\displaystyle L_{\varrho }^{2}}$, куда ${\displaystyle L_{\varrho }}$ это Симметричная логарифмическая производная.

Свойства выпуклости

Квантовая информация Фишера в четыре раза больше дисперсии для чистых состояний

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}}$.

Для смешанных состояний он выпуклый в ${\displaystyle \varrho ,}$ то есть,

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}+(1-p)\varrho _{2},H]\leq pF_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H].}$

Квантовая информация Фишера - это наибольшая выпуклая функция, которая в четыре раза больше дисперсии для чистых состояний, то есть в четыре раза больше выпуклой крыши дисперсии. ^[6][7]

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},}$

где нижняя грань берется по всем разложениям матрицы плотности

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle }$ не обязательно ортогональны друг другу.

Неравенства для составных систем

Нам необходимо понять поведение квантовой информации Фишера в составной системе, чтобы изучить квантовую метрологию систем многих частиц.^[8]Для состояний продукта

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2}]}$

держит.

Для приведенного состояния имеем

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],}$

куда ${\displaystyle \varrho _{1}={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})}$.

Отношение к запутанности

Между квантовая метрология и квантовая информатика. Для многочастичной системы ${\displaystyle N}$ частицы со спином 1/2 ^[9]

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N}$

справедливо для сепарабельных состояний, где

${\displaystyle J_{z}=\sum _{n=1}^{N}j_{z}^{(n)},}$

и ${\displaystyle j_{z}^{(n)}}$ представляет собой компонент углового момента одиночной частицы. Максимум для общих квантовых состояний дается выражением

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.}$ Следовательно, квантовая запутанность необходим для достижения максимальной точности в квантовой метрологии.

Более того, для квантовых состояний с глубина запутанности ${\displaystyle k}$,

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq kN+N_{R}^{2}}$

держит, где ${\displaystyle N_{R}}$ остаток от деления ${\displaystyle N}$ к ${\displaystyle k}$. Следовательно, все более и более высокие уровни множественной запутанности необходимы для достижения лучшей и лучшей точности в оценке параметров.^[10][11]

Подобные количества

Информация о перекосе Вигнера – Янасе определяется как ^[12]

${\displaystyle I(\varrho ,H)={\rm {Tr}}(H^{2}\varrho )-{\rm {Tr}}(H{\sqrt {\varrho }}H{\sqrt {\varrho }}).}$

Следует, что ${\displaystyle I(\varrho ,H)}$ выпуклый в ${\displaystyle \varrho .}$

Для квантовой информации Фишера и информации о перекосе Вигнера – Янасе неравенство

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)}$

где есть равенство для чистых состояний.

Рекомендации

1. Хелстром, К. (1976). Квантовая теория обнаружения и оценки. Академическая пресса. ISBN  0123400503.
2. Холево, Александр С (1982). Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории (2-е англ. Ред.). Scuola Normale Superiore. ISBN  978-88-7642-378-9.
3. Браунштейн, Сэмюэл Л .; Пещеры, Карлтон М. (1994-05-30). «Статистическое расстояние и геометрия квантовых состояний». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 72 (22): 3439–3443. Bibcode:1994ПхРвЛ..72.3439Б. Дои:10.1103 / Physrevlett.72.3439. ISSN  0031-9007. PMID  10056200.
4. Браунштейн, Сэмюэл Л .; Пещеры, Карлтон М.; Милберн, Г.Дж. (Апрель 1996 г.). «Обобщенные отношения неопределенности: теория, примеры и лоренц-инвариантность». Анналы физики. 247 (1): 135–173. arXiv:Quant-ph / 9507004. Bibcode:1996АнФи.247..135Б. Дои:10.1006 / aphy.1996.0040.
5. Пэрис, Маттео Г. А. (21 ноября 2011 г.). «Квантовая оценка для квантовой технологии». Международный журнал квантовой информации. 07 (supp01): 125–137. arXiv:0804.2981. Дои:10.1142 / S0219749909004839.
6. Тот, Геза; Петц, Денес (20 марта 2013 г.). «Экстремальные свойства дисперсии и квантовая информация Фишера». Физический обзор A. 87 (3): 032324. arXiv:1109.2831. Bibcode:2013PhRvA..87c2324T. Дои:10.1103 / PhysRevA.87.032324.
7. Ю, Sixia (2013). «Квантовая информация Фишера как выпуклая крыша дисперсии». arXiv:1302.5311 [Quant-ph ].
8. Тот, Геза; Апелланиз, Ягоба (24 октября 2014 г.). «Квантовая метрология с точки зрения квантовой информатики». Журнал физики A: математический и теоретический. 47 (42): 424006. arXiv:1405.4878. Bibcode:2014JPhA ... 47P4006T. Дои:10.1088/1751-8113/47/42/424006.
9. Пеззе, Лука; Смерци, Августо (10 марта 2009 г.). «Запутанность, нелинейная динамика и предел Гейзенберга». Письма с физическими проверками. 102 (10): 100401. arXiv:0711.4840. Bibcode:2009PhRvL.102j0401P. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.100401. PMID  19392092.
10. Хиллус, Филипп (2012). «Информация Фишера и многочастичная запутанность». Физический обзор A. 85 (2): 022321. arXiv:1006.4366. Bibcode:2012PhRvA..85b2321H. Дои:10.1103 / Physreva.85.022321.
11. Тот, Геза (2012). «Многокомпонентная запутанность и высокоточная метрология». Физический обзор A. 85 (2): 022322. arXiv:1006.4368. Bibcode:2012PhRvA..85b2322T. Дои:10.1103 / Physreva.85.022322.
12. Wigner, E. P .; Янасэ, М. М. (1 июня 1963 г.). «Информационное содержание рассылок». Труды Национальной академии наук. 49 (6): 910–918. Bibcode:1963ПНАС ... 49..910Вт. Дои:10.1073 / пнас.49.6.910.