Схема котировки - Quot scheme

В алгебраическая геометрия, то Схема котировки - схема, параметризующая локально свободные пучки на проективная схема. В частности, если Икс является проективной схемой над нётеровой схемой S и если F это связный пучок на Икс, то есть схема ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}$ чей набор Т-точки ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}$ - множество классов изоморфизма частные из ${\displaystyle F\times _{S}T}$ которые плоские Т. Это понятие было введено Александр Гротендик.^[1]

Обычно он используется для построения другой схемы, параметризации представляющих интерес геометрических объектов, таких как Схема гильберта. (Фактически, принимая F быть структурным пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ дает схему Гильберта.)

Определение

Для схема конечного типа ${\displaystyle X\to S}$ через Нётерян базовая схема ${\displaystyle S}$, а связный пучок ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}$, есть функтор^[2]

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}$

отправка ${\displaystyle T\to S}$ к

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X_{T})\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

куда ${\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}$ и ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}$ под проекцией ${\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}$. Существует отношение эквивалентности, заданное формулой ${\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}$ если есть изоморфизм ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}''}$ коммутируя с двумя проекциями ${\displaystyle q,q'}$; то есть,

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}$

коммутативная диаграмма для ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}$ . В качестве альтернативы существует эквивалентное условие удержания ${\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}$. Это называется quot функтор которое имеет естественное расслоение на несвязное объединение подфункторов, каждый из которых представлен проективным ${\displaystyle S}$-схема называется схема цитаты связанный с полиномом Гильберта ${\displaystyle \Phi }$.

Полином Гильберта

В течение относительно очень обильный линейный пакет ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}$^[3] и любая закрытая точка ${\displaystyle s\in S}$ есть функция ${\displaystyle \phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ отправка

${\displaystyle m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})}$

который является полиномом для ${\displaystyle m>>0}$. Это называется Полином Гильберта что дает естественную стратификацию функтора quot. Опять же, для ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ фиксировано несвязное объединение подфункторов

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [\lambda ]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}$

Полином Гильберта ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}$ - многочлен Гильберта от ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для закрытых точек ${\displaystyle t\in T}$. Обратите внимание, что полином Гильберта не зависит от выбора очень обильного линейного расслоения. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Теорема существования Гротендика

Теорема Гротендика состоит в том, что функторы ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$ все представимы проективными схемами ${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}$ над ${\displaystyle S}$.

Примеры

Грассманиан

Грассманиан ${\displaystyle G(n,k)}$ из ${\displaystyle k}$-самолеты в ${\displaystyle n}$-мерное векторное пространство имеет универсальный фактор

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$ это ${\displaystyle k}$-самолет представлен ${\displaystyle x\in G(n,k)}$. С ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ локально свободен и в каждой точке представляет собой ${\displaystyle k}$-плоскость имеет постоянный многочлен Гильберта ${\displaystyle \Phi (\lambda )=k}$. Это показывает ${\displaystyle G(n,k)}$ представляет собой функтор quot

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}$

Схема гильберта

Схема Гильберта - частный пример схемы quot. Обратите внимание на подсхему ${\displaystyle Z\subset X}$ может быть дан как проекция

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

и плоское семейство таких проекций, параметризованное схемой ${\displaystyle T\in Sch/S}$ может быть дан

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}$

Поскольку существует многочлен Гильберта, связанный с ${\displaystyle Z}$, обозначенный ${\displaystyle \Phi _{Z}}$, существует изоморфизм схем

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}$

Пример параметризации

Если ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}$ и ${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$ для алгебраически замкнутого поля ненулевое сечение ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$ имеет исчезающий локус ${\displaystyle Z=Z(s)}$ с полиномом Гильберта

${\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}$

Тогда есть сюрприз

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

с ядром ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$. С ${\displaystyle s}$ было произвольным ненулевым сечением, а геометрическое место исчезновения ${\displaystyle a\cdot s}$ за ${\displaystyle a\in k^{*}}$ дает то же место исчезновения, схема ${\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$ дает естественную параметризацию всех таких секций. Есть связка ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ на ${\displaystyle X\times Q}$ такой, что для любого ${\displaystyle [s]\in Q}$, существует связанная подсхема ${\displaystyle Z\subset X}$ и сюрприз ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$. Эта конструкция представляет собой функтор quot

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}$

Квадрики в проективной плоскости

Если ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}$ и ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}$, многочлен Гильберта равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}$

Универсальное частное по ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}$

где слой над точкой ${\displaystyle [Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}$ дает проективный морфизм

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

Например, если ${\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]}$ представляет собой коэффициенты при

${\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}$

тогда универсальное частное по ${\displaystyle [Z]}$ дает короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

Полустабильные векторные расслоения на кривой

Полустабильные векторные расслоения на кривой ${\displaystyle C}$ рода ${\displaystyle g}$ эквивалентно описываются как локально свободные пучки конечного ранга. Такие локально свободные связки ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ранга ${\displaystyle n}$ и степень ${\displaystyle d}$ иметь свойства^[4]

1. ${\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ генерируется глобальными секциями

за ${\displaystyle d>n(2g-1)}$. Это означает, что есть сюрприз

${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}$

Тогда схема квотирования ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}$ параметризует все такие сюрпризы. С использованием Теорема Гротендика – Римана – Роха. измерение ${\displaystyle N}$ равно

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}$

Для пакета фиксированной связи ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ степени ${\displaystyle 1}$ есть скручивание ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}$, сдвигая градус на ${\displaystyle nm}$, так

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}$^[4]

давая полином Гильберта

${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}$

Тогда геометрическое место полустабильных векторных расслоений содержится в

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}$

которое можно использовать для построения пространства модулей ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}$ полустабильных векторных расслоений с помощью Фактор GIT.^[4]

Смотрите также

• Полином Гильберта
• Плоский морфизм
• Схема гильберта
• Модульное пространство
• Фактор GIT

Рекомендации

1. Гротендик, Александр. Методы построения и теории существования в альгебрике IV: схемы Гильберта. Séminaire Bourbaki: années 1960/61, разоблачения 205-222, Séminaire Bourbaki, no. 6 (1961), Беседа № 221, стр. 249–276
2. Ницурэ, Нитин (29.04.2005). «Построение схем Гильберта и котировок». arXiv:математика / 0504590.
3. Имея в виду основу ${\displaystyle s_{i}}$ для глобальных разделов ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ определяет вложение ${\displaystyle \mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}}$ за ${\displaystyle N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))}$
4. Хоскинс, Виктория. «Проблемы модулей и геометрическая теория инвариантов» (PDF). С. 68, 74–85. В архиве (PDF) из оригинала на 1 марта 2020 г.

• Построение гильбертовых и квот-схем
• Заметки о стабильных отображениях и квантовых когомологиях
• Ницурэ, Н. Построение схем Гильберта и Квота. Фундаментальная алгебраическая геометрия: объяснение FGA Гротендика, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society 2005, 105–137.
• https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/