Трюк Рабиновича - Rabinowitsch trick

В математике Трюк Рабиновича, представлен Георгий Юрий Райнич и опубликовано под его оригинальным именем Рабинович (1929), является коротким способом доказательства общего случая Гильберт Нуллстеллензац из более легкого частного случая (так называемый слабый Nullstellensatz), введя дополнительную переменную.

Уловка Рабиновича заключается в следующем. Позволять K быть алгебраически замкнутое поле. Предположим, что многочлен ж в K[Икс₁,...Икс_п] обращается в нуль всякий раз, когда все многочлены ж₁,....,ж_м исчезнуть. Тогда многочлены ж₁,....,ж_м, 1 − Икс₀ж не имеют общих нулей (где мы ввели новую переменную Икс₀), поэтому слабым Nullstellensatz для K[Икс₀, ..., Икс_п] они порождают единичный идеал K[Икс₀ ,..., Икс_п]. Прописано, это означает, что есть многочлены ${displaystyle g_ {0}, g_ {1}, dots, g_ {m} in K [x_ {0}, x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ такой, что

{displaystyle 1 = g_ {0} (x_ {0}, x_ {1}, dots, x_ {n}) (1-x_ {0} f (x_ {1}, dots, x_ {n})) + сумма _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} (x_ {0}, x_ {1}, точки, x_ {n}) f_ {i} (x_ {1}, точки, x_ {n})}

как равенство элементов кольца многочленов ${displaystyle K [x_ {0}, x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ . С ${displaystyle x_ {0}, x_ {1}, dots, x_ {n}}$ являются свободными переменными, это равенство сохраняется, если вместо некоторых переменных подставляются выражения; в частности, из подстановки ${displaystyle x_ {0} = 1 / f (x_ {1}, точки, x_ {n})}$ который

{displaystyle 1 = sum _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} (1 / f (x_ {1}, dots, x_ {n}), x_ {1}, dots, x_ {n}) f_ {i} (x_ {1}, точки, x_ {n})}

как элементы поля рациональных функций ${displaystyle K (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ , то поле дробей кольца многочленов ${displaystyle K [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ . Более того, единственные выражения, которые встречаются в знаменателях правой части: ж и полномочия ж, поэтому переписав эту правую часть, чтобы иметь общий знаменатель, мы получим равенство в форме

{displaystyle 1 = {frac {sum _ {i = 1} ^ {m} h_ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}) f_ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}) })} {f (x_ {1}, точки, x_ {n}) ^ {r}}}}

для некоторого натурального числа р и многочлены ${displaystyle h_ {1}, dots, h_ {m} in K [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$ . Следовательно

{displaystyle f (x_ {1}, точки, x_ {n}) ^ {r} = sum _ {i = 1} ^ {m} h_ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}) f_ {i} (x_ {1}, точки, x_ {n})}

,

который буквально заявляет, что ${displaystyle f ^ {r}}$ лежит в идеале, порожденном ж₁,....,ж_м. Это полная версия Nullstellensatz за K[Икс₁,...,Икс_п].

Трюк Рабиновича - Rabinowitsch trick

Рекомендации