Модель случайного кластера - Random cluster model - Wikipedia

В физика, теория вероятности, теория графов и т. д. случайная кластерная модель это случайный граф который обобщает и объединяет Модель Изинга, Модель Поттса, и модель перколяции. Используется для изучения случайный комбинаторный конструкции, электрические сети, так далее.^[1][2][3] Его также называют RC модель или иногда Представительство ФК после его основателей Киса Фортуина и Пит Кастелейн.^[4]

Определение

^{[требуется разъяснение ]}

Позволять грамм быть график. Предположим край ${\displaystyle e\in E(G)}$ открыто с вероятностью п, где мы говорим ${\displaystyle \omega (e)=1}$, а в противном случае закрыто ${\displaystyle \omega (e)=0}$. Тогда вероятность данной конфигурации равна

${\displaystyle \mu (\omega )=\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

И это даст вам Модель Эрдеша – Реньи (независимые кромки, продукт мера ). Однако предположим, что вы взвесили их следующим образом. Позволять ${\displaystyle C(\omega )}$ быть количеством открытых кластеров конфигурации (количество связанные компоненты в подграфе всех открытых ребер ${\displaystyle \omega (e)=1}$). Позволять q быть позитивным реальным. Затем определите новую взвешенную меру как

${\displaystyle \mu (\omega )={\frac {1}{Z}}q^{C(\omega )}\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

Здесь Z это функция распределения или суммировать по всем конфигурациям:

${\displaystyle Z=\sum _{\omega \in \Omega }\left\{q^{C(\omega )}\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}\right\}.}$

Эта результирующая модель известна как случайная кластерная модель или же RCM для краткости.

Отношение к другим моделям

Есть два случая: q ≤ 1 и q ≥ 1. Первый способствует меньшему количеству кластеров, а второй - большему количеству кластеров. Когда q = 1, рёбра открыты и замкнуты независимо друг от друга, и модель сводится к перколяционным и случайным графам.^[2]

Это обобщение Полином Тутте. Предел как q ↓ 0 описывает сети линейного сопротивления.^[1]

Это частный случай экспоненциальные модели случайных графов.

История и приложения

Модели RC были представлены в 1969 году Fortuin и Кастелейн, в основном для решения комбинаторных задач.^[1][3][5] В честь их основателей его иногда называют Модели FK.^[4] В 1971 году они использовали его для получения Неравенство ФКГ. После 1987 г., интерес к модели и приложениям в статистическая физика возродился. Это стало вдохновением для Алгоритм Свендсена – Ванга описывая временную эволюцию моделей Поттса.^[6] Майкл Айзенман, и другие. использовал его для изучения границы фаз в 1D моделях Изинга и Поттса.^[7][3]

Смотрите также

• Полином Тутте
• Модель Изинга
• Случайный график
• Алгоритм Свендсена – Ванга
• Неравенство ФКГ

Рекомендации

1. Фортуин; Кастелейн (1972). «О модели случайных кластеров: I. Введение и связь с другими моделями». Physica. 57 (4): 536. Bibcode:1972Phy .... 57..536F. Дои:10.1016/0031-8914(72)90045-6.
2. Гримметт (2002). «Случайные кластерные модели». arXiv:математика / 0205237.
3. Гриммет. Модель случайного кластера. http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/rcm1-1.pdf.
4. НЬЮМАН, ЧАРЛЬЗ М. «НАРУШЕННЫЕ СИСТЕМЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ КЛАСТЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ» (PDF).
5. Kasteleyn, P.W .; Фортуин, К. М. (1969). «Фазовые переходы в решетчатых системах со случайными локальными свойствами». Приложение к журналу Физического общества Японии, Vol. 26. Труды Международной конференции по статистической механике, состоявшейся 9–14 сентября 1968 г. в Който., С. 11. 26: 11. Bibcode:1969PSJJS..26 ... 11K.
6. Свендсен, Роберт Х .; Ван, Цзянь-Шэн (1987-01-12). «Неуниверсальная критическая динамика в моделировании Монте-Карло». Письма с физическими проверками. 58 (2): 86–88. Bibcode:1987ПхРвЛ..58 ... 86С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.58.86. PMID  10034599.
7. Aizenman, M .; Chayes, J. T .; Chayes, L .; Ньюман, К. М. (апрель 1987 г.). «Фазовая граница в разреженных и случайных ферромагнетиках Изинга и Поттса». Журнал физики A: математические и общие. 20 (5): L313 – L318. Bibcode:1987JPhA ... 20L.313A. Дои:10.1088/0305-4470/20/5/010. ISSN  0305-4470.

внешняя ссылка

• Модель случайных кластеров - Wolfram MathWorld