Отношение рациональных последствий - Rational consequence relation

В логика, а отношение рациональных последствий это немонотонный отношение последствий удовлетворяющие определенным свойствам, перечисленным ниже.

Характеристики

Отношение рационального следствия ${displaystyle vdash }$ удовлетворяет:

REF

Рефлексивность ${displaystyle heta vdash heta }$

и так называемый Габбай-Макинсон правила:

LLE

Левая логическая эквивалентность ${displaystyle {frac { heta vdash psi quad heta equiv phi }{phi vdash psi }}}$

RWE

Ослабление правой руки ${displaystyle {frac { heta vdash phi quad phi models psi }{ heta vdash psi }}}$

CMO

Осторожный монотонность ${displaystyle {frac { heta vdash phi quad heta vdash psi }{ heta wedge psi vdash phi }}}$

DIS

Логическое или (т.е. дизъюнкция) с левой стороны ${displaystyle {frac { heta vdash psi quad phi vdash psi }{ heta vee phi vdash psi }}}$

И

Логический и с правой стороны ${displaystyle {frac { heta vdash phi quad heta vdash psi }{ heta vdash phi wedge psi }}}$

RMO

Рациональная монотонность ${displaystyle {frac {phi ot vdash eg heta quad phi vdash psi }{phi wedge heta vdash psi }}}$^{[требуется разъяснение ]}

Использует

Отношение рационального следствия немонотонный, а соотношение ${displaystyle heta vdash phi }$ предназначен нести значение тета обычно подразумевает фи или же фи обычно следует из теты. В этом смысле он более полезен для моделирования некоторых повседневных ситуаций, чем монотонное отношение следствия потому что последнее отношение моделирует факты более строгим логическим образом - что-то либо следует при всех обстоятельствах, либо нет.

Пример

Заявление «Если торт содержит сахар, значит, он приятный на вкус» при монотонном отношении следствия следует утверждение «Если торт содержит сахар и мыло, значит, он приятный на вкус». Ясно, что это не соответствует нашему собственному пониманию тортов. Утверждая "Если торт содержит сахар, то он обычно хороший вкус" отношение рациональных последствий позволяет получить более реалистичную модель реального мира и, конечно же, не следует автоматически «Если пирог содержит сахар и мыло, то обычно он вкусный».

Обратите внимание, что если у нас также есть информация «Если торт содержит сахар, значит, он обычно содержит масло» тогда мы можем юридически заключить (в рамках CMO), что «Если торт содержит сахар и масло, то обычно он вкусный».. В равной степени при отсутствии такого заявления, как "Если торт содержит сахар, то обычно в нем нет мыла."тогда мы можем сделать юридический вывод из RMO, что «Если пирог содержит сахар и мыло, то обычно он вкусный».

Если этот последний вывод кажется вам нелепым, то, вероятно, вы подсознательно утверждаете свои собственные предвзятые знания о тортах, оценивая достоверность утверждения. То есть по своему опыту вы знаете, что пирожные, содержащие мыло, могут иметь неприятный вкус, поэтому вы добавляете в систему свои собственные знания, например «Торты, которые содержат сахар, обычно не содержат мыла»., хотя это знание в нем отсутствует. Если вывод кажется вам глупым, вы можете подумать о замене слова мыло со словом яйца чтобы увидеть, изменит ли это ваши чувства.

Пример

Рассмотрим предложения:

• Молодые люди обычно счастливы
• Наркоманы обычно недовольны
• Наркоманы обычно молоды

Мы можем счесть разумным сделать вывод:

• Молодые наркоманы обычно недовольны

Это не было бы правильным выводом при монотонной системе дедукции (конечно, без слова «обычно»), поскольку третье предложение противоречило бы первым двум. Напротив, из правил Габбая-Макинсона немедленно следует вывод: применение правила CMO к последним двум предложениям дает результат.

Последствия

Из приведенных выше правил вытекают следующие последствия:

Депутат

Modus ponens ${displaystyle {frac { heta vdash phi quad heta vdash left(phi ightarrow psi ight)}{ heta vdash psi }}}$

MP подтверждается правилами AND и RWE.

ПРОТИВ

Обусловленность ${displaystyle {frac { heta wedge phi vdash psi }{ heta vdash left(phi ightarrow psi ight)}}}$

CC

Осторожный разрез ${displaystyle {frac { heta vdash phi quad heta wedge phi vdash psi }{ heta vdash psi }}}$

Понятие «Осторожный вырез» просто включает в себя операцию условности, за которой следует MP. В этом смысле это может показаться излишним, но оно часто используется в доказательствах, поэтому полезно иметь имя, которое будет действовать как ярлык.

SCL

Супраклассность ${displaystyle {frac { heta models phi }{ heta vdash phi }}}$

SCL доказывается тривиально с помощью REF и RWE.

Отношения рациональных последствий через предпочтения атомов

Позволять ${displaystyle L={p_{1},ldots ,p_{n}}}$ быть конечным языком. Атом - это формула вида ${displaystyle igwedge _{i=1}^{n}p_{i}^{epsilon }}$ (куда ${displaystyle p^{1}=p}$ и ${displaystyle p^{-1}=eg p}$). Обратите внимание, что существует уникальная оценка, которая делает любой данный атом истинным (и, наоборот, каждая оценка удовлетворяет ровно одному атому). Таким образом, атом можно использовать для представления предпочтений относительно того, что, по нашему мнению, должно быть правдой.

Позволять ${displaystyle At^{L}}$ - множество всех атомов в L. Для ${displaystyle heta in }$ SL, определять ${displaystyle S_{ heta }={alpha in At^{L}|alpha models ^{SC} heta }}$.

Позволять ${displaystyle {vec {s}}=s_{1},ldots ,s_{m}}$ последовательность подмножеств ${displaystyle At^{L}}$. За ${displaystyle heta }$, ${displaystyle phi }$ в SL пусть соотношение ${displaystyle vdash _{vec {s}}}$ быть таким, чтобы ${displaystyle heta vdash _{vec {s}}phi }$ если выполняется одно из следующих условий:

1. ${displaystyle S_{ heta }cap s_{i}=emptyset }$ для каждого ${displaystyle 1leq ileq m}$
2. ${displaystyle S_{ heta }cap s_{i}eq emptyset }$ для некоторых ${displaystyle 1leq ileq m}$ и для наименьшего такого i, ${displaystyle S_{ heta }cap s_{i}subseteq S_{phi }}$.

Тогда отношение ${displaystyle vdash _{vec {s}}}$ является отношением рационального следствия. В этом легко убедиться, проверив напрямую, что он удовлетворяет GM-условиям.

Идея последовательности наборов атомов состоит в том, что более ранние наборы учитывают наиболее вероятные ситуации, такие как «молодые люди обычно законопослушны» тогда как более поздние наборы учитывают менее вероятные ситуации, такие как «юные наездники обычно не соблюдают закон».

Примечания

1. По определению отношения ${displaystyle vdash _{vec {s}}}$, соотношение не изменится, если мы заменим ${displaystyle s_{2}}$ с ${displaystyle s_{2}setminus s_{1}}$, ${displaystyle s_{3}}$ с ${displaystyle s_{3}setminus s_{2}setminus s_{1}}$ ... и ${displaystyle s_{m}}$ с ${displaystyle s_{m}setminus igcup _{i=1}^{m-1}s_{i}}$. Таким образом мы делаем каждый ${displaystyle s_{i}}$ непересекающиеся. И наоборот, это не имеет значения для rcr ${displaystyle vdash _{vec {s}}}$ если мы добавим к последующим ${displaystyle s_{i}}$ атомы из любого из предыдущих ${displaystyle s_{i}}$.

Теорема представления

Можно доказать, что любое отношение рационального следствия на конечном языке представимо через последовательность предпочтений атомов, указанную выше. То есть для любого такого отношения рационального следствия ${displaystyle vdash }$ есть последовательность ${displaystyle {vec {s}}=s_{1},ldots ,s_{m}}$ подмножеств ${displaystyle At^{L}}$ такой, что связанный rcr ${displaystyle vdash _{vec {s}}}$ такое же отношение: ${displaystyle vdash _{vec {s}}=vdash }$

Примечания

1. По указанному выше свойству ${displaystyle vdash _{vec {s}}}$, представление rcr ${displaystyle vdash }$ не обязательно должен быть уникальным - если ${displaystyle s_{i}}$ не являются непересекающимися, то их можно сделать так, не изменяя rcr, и наоборот, если они не пересекаются, то каждый последующий набор может содержать любой из атомов предыдущих наборов без изменения rcr.

Рекомендации

• Математическая статья, в которой определены правила GM