Фактор Рэлея в анализе колебаний - Rayleighs quotient in vibrations analysis - Wikipedia

В Фактор Рэлея представляет собой быстрый метод оценки естественного частота вибрационной системы с несколькими степенями свободы, в которой масса и матрицы жесткости известны.

В собственное значение проблема для общей системы вида

${\displaystyle M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+C\,{\dot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)={\textbf {Q}}(t)}$

при отсутствии демпфирования и внешних сил сводится к

${\displaystyle M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)=0}$

Предыдущее уравнение можно также записать как

${\displaystyle K\,{\textbf {u}}=\lambda \,M\,{\textbf {u}}}$

куда ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}}$, в котором ${\displaystyle \omega }$ представляет собой собственную частоту, M и K - действительные положительные симметричные матрицы массы и жесткости соответственно.

Для п-степени свободы уравнение имеет п решения ${\displaystyle \lambda _{m}}$, ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ которые удовлетворяют уравнению

${\displaystyle K\,{\textbf {u}}_{m}=\lambda _{m}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}$

Умножив обе части уравнения на ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}^{T}}$ и разделив на скаляр ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}$, можно выразить проблему собственных значений следующим образом:

${\displaystyle \lambda _{m}=\omega _{m}^{2}={\frac {{\textbf {u}}_{m}^{T}\,K\,{\textbf {u}}_{m}}{{\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}}}$

за м = 1,2,3,...,п.

В предыдущем уравнении также можно заметить, что числитель пропорционален потенциальной энергии, а знаменатель отображает меру кинетической энергии. Более того, уравнение позволяет рассчитать собственную частоту, только если собственный вектор (как и любой другой вектор смещения) ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ известен. Для академических интересов, если модальные векторы неизвестны, мы можем повторить вышеупомянутый процесс, но с ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}}$ и ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ заняв место ${\displaystyle \lambda _{m}=\omega _{m}^{2}}$ и ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$, соответственно. Тем самым мы получаем скаляр ${\displaystyle R({\textbf {u}})}$, также известный как фактор Рэлея:

^[1]

${\displaystyle R({\textbf {u}})=\lambda =\omega ^{2}={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}}$

Следовательно, фактор Рэлея - это скаляр, значение которого зависит от вектора ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ и его можно вычислить с хорошим приближением для любого произвольного вектора ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ до тех пор, пока он находится достаточно далеко от модальных векторов ${\displaystyle {\textbf {u}}_{i}}$, я = 1,2,3,...,п.

Поскольку можно утверждать, что вектор ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ отличается от модального вектора ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ при небольшом количестве первого порядка правильный результат отношения Рэлея будет незначительно отличаться от расчетного, и это делает этот метод очень полезным. Хороший способ оценить самый низкий модальный вектор ${\displaystyle (u_{1})}$, что обычно хорошо работает для большинства структур (хотя и не гарантируется), заключается в предположении ${\displaystyle (u_{1})}$ равным статическому смещению от приложенной силы, которое имеет такое же относительное распределение членов диагональной матрицы масс. Последнее можно пояснить на следующем примере 3-DOF.

Пример - 3DOF

В качестве примера мы можем рассмотреть систему с 3 степенями свободы, в которой масса и матрицы жесткости известны следующим образом:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}}\;\;K={\begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&3&-2\\0&-2&2\end{pmatrix}}}$

Чтобы оценить наименьшую собственную частоту, мы выбираем пробный вектор статического смещения, полученный путем нагружения системы силой, пропорциональной массам:

${\displaystyle {\textbf {F}}=k[m_{1}\,m_{2}\,m_{3}]^{T}=1[1\,1\,3]}$

Таким образом, пробный вектор станет

${\displaystyle {\textbf {u}}=K^{-1}{\textbf {F}}=[2.5;6.5;8]}$

которые позволяют рассчитать коэффициент Рэлея:

${\displaystyle R={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}=\cdots =0.137214}$

Таким образом, наименьшая собственная частота, рассчитанная с помощью коэффициента Рэлея, составляет:

${\displaystyle w_{\text{Ray}}=0.370424}$

Используя инструмент расчета, довольно быстро проверить, насколько он отличается от «настоящего». В этом случае, используя MATLAB, было вычислено, что самая низкая собственная частота равна: ${\displaystyle w_{\text{real}}=0.369308}$ что привело к ошибке ${\displaystyle 0.302315\%}$ Используя приближение Рэлея, это замечательный результат.

Пример показывает, как коэффициент Рэлея позволяет получить точную оценку самой низкой собственной частоты. Практика использования вектора статического смещения в качестве пробного вектора допустима, поскольку вектор статического смещения имеет тенденцию напоминать режим самой низкой вибрации.

Рекомендации

1. Мейрович, Леонард (2003). Основы вибрации. McGraw-Hill Education. п. 806. ISBN  9780071219839.