Регулус (геометрия) - Regulus (geometry)

Струнная модель части регуля и ее противоположность для отображения правил на гиперболоиде одного листа

В трехмерном пространстве Regulus р это набор косые линии, каждая точка которого находится на поперечный который пересекает элемент р только один раз и так, что каждая точка на трансверсали лежит на линии р

Набор трансверсалей р образует противоположный регулятор S. В ℝ³ Союз р ∪ S это линейчатая поверхность из гиперболоид одного листа.

Три скошенных линии определяют регулятор:

Географическое место линий, пересекающихся с тремя заданными наклонными линиями, называется Regulus. Теорема Галлуччи показывает, что линии, встречающиеся с генераторами регуля (включая исходные три линии), образуют другой «связанный» регулятор, так что каждый генератор одного регуля встречается с каждым генератором другого. Эти два регуляра - это две системы генераторов управляемая квадрика.^[1]

В соответствии с Шарлотта Скотт, "Regulus предоставляет чрезвычайно простые доказательства свойств коники ... теоремы Шасля, Брианшон, и Паскаль ..."^[2]

В конечная геометрия PG (3, q), регул имеет q + 1 линия.^[3] Например, в 1954 г. Уильям Эдж описал пару регуляров из четырех строк в каждой в PG (3,3).^[4]

Роберт Дж. Т. Белл описал, как регулятор генерируется движущейся прямой линией. Во-первых, гиперболоид ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\ =\ 1}$ учитывается как

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\right)\left({\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\right)\ =\ \left(1+{\frac {y}{b}}\right)\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

Тогда две системы линий, параметризованные λ и μ, удовлетворяют этому уравнению:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)}$ и

${\displaystyle {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ \mu \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

Ни один из членов первого набора строк не является членом второго. При изменении λ или μ создается гиперболоид. Эти два набора представляют собой регулятор и его противоположность. С помощью аналитическая геометрия, Белл доказывает, что никакие две образующие в наборе не пересекаются и что любые две образующие в противоположных точках пересекаются и образуют плоскость, касательную к гиперболоиду в этой точке. (стр.155).^[5]

Смотрите также

• Самолет перевода # Регули и регулярные развороты

Рекомендации

1. Х. С. М. Коксетер (1969) Введение в геометрию, стр. 259, Джон Уайли и сыновья
2. Шарлотта Ангас Скотт (1905) Элементарная обработка конусов с помощью регулятора, Бюллетень Американского математического общества 12(1): 1–7
3. Альбрехт Бойтельшпахер И Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия, стр. 72, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-48277-1
4. У. Л. Эдж (1954) «Трехмерная геометрия над GF (3)», Труды Королевского общества A 222: 262–86 Дои:10.1098 / rspa.1954.0068
5. Роберт Дж. Т. Белл (1910) Элементарный трактат о координатной геометрии трех измерений, стр. 148, через Интернет-архив

• Х. Г. Фордер (1950) Геометрия, стр. 118, Библиотека Университета Хатчинсона.