Релятивистская система (математика) - Relativistic system (mathematics) - Wikipedia

В математике неавтономная система из обыкновенные дифференциальные уравнения определяется как динамическое уравнение на гладкой пучок волокон ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Например, это случай нерелятивистского неавтономная механика, но нет релятивистская механика. Описать релятивистская механика, следует рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений на гладкое многообразие ${\displaystyle Q}$ чье расслоение над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не фиксируется. Такая система допускает преобразования координаты ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в зависимости от других координат на ${\displaystyle Q}$. Поэтому его называют релятивистская система. Особенно, Специальная теория относительности наПространство Минковского ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{4}}$ относится к этому типу.

Поскольку конфигурационное пространство ${\displaystyle Q}$ релятивистской системы не имеет предпочтительного расслоения перед ${\displaystyle \mathbb {R} }$, пространство скоростей релятивистской системы является джетмногообразием первого порядка ${\displaystyle J_{1}^{1}Q}$ одномерных подмногообразий ${\displaystyle Q}$. Понятие струи подмногообразий обобщает понятие струи подмногообразий. форсунки секций пучков волокон, которые используются в ковариантная классическая теория поля инеавтономная механика. Пакет реактивных двигателей первого порядка ${\displaystyle J_{1}^{1}Q\to Q}$ является проективным и, следуя терминологии Специальная теория относительности, можно думать о его волокнах как о пространстве абсолютных скоростей релятивистской системы. Данные координаты ${\displaystyle (q^{0},q^{i})}$ на ${\displaystyle Q}$, струйное многообразие первого порядка ${\displaystyle J_{1}^{1}Q}$ снабжен адаптированными координатами ${\displaystyle (q^{0},q^{i},q_{0}^{i})}$ обладающие переходными функциями

${\displaystyle q'^{0}=q'^{0}(q^{0},q^{k}),\quad q'^{i}=q'^{i}(q^{0},q^{k}),\quad {q'}_{0}^{i}=\left({\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{0}}}\right)\left({\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{0}}}\right)^{-1}.}$

Релятивистские скорости релятивистской системы представлены элементами пучка волокон ${\displaystyle \mathbb {R} \times TQ}$, координируется ${\displaystyle (\tau ,q^{\lambda },a_{\tau }^{\lambda })}$, куда ${\displaystyle TQ}$ касательное расслоение к ${\displaystyle Q}$. Тогда общее уравнение движения релятивистской системы в терминах релятивистских скоростей выглядит так:

${\displaystyle \left({\frac {\partial _{\lambda }G_{\mu \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}}{2N}}-\partial _{\mu }G_{\lambda \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}\right)q_{\tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{2}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}-(2N-1)G_{\lambda \mu \alpha _{3}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau \tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{3}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}+F_{\lambda \mu }q_{\tau }^{\mu }=0,}$

${\displaystyle G_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau }^{\alpha _{1}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}=1.}$

Например, если ${\displaystyle Q}$ - пространство Минковского с метрикой Минковского ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$, это уравнение релятивистского заряда в присутствии электромагнитного поля.

Смотрите также

• Неавтономная система (математика)
• Неавтономная механика
• Релятивистская механика
• Специальная теория относительности

Рекомендации

• Красильщик И. С., Виноградов А. М. [и др.] "Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики", Амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN  0-8218-0958-X.
• Джакетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г., Геометрическая формулировка классической и квантовой механики (World Scientific, 2010) ISBN  981-4313-72-6 (arXiv:1005.1212 ).