Представление супералгебры Ли - Representation of a Lie superalgebra

в математический поле теория представлений, а представление супералгебры Ли является действие из Супералгебра Ли L на Z₂-градуированное векторное пространство V, так что если А и B любые два чистых элемента L и Икс и Y любые два чистых элемента V, тогда

${\displaystyle (c_{1}A+c_{2}B)\cdot X=c_{1}A\cdot X+c_{2}B\cdot X}$

${\displaystyle A\cdot (c_{1}X+c_{2}Y)=c_{1}A\cdot X+c_{2}A\cdot Y}$

${\displaystyle (-1)^{A\cdot X}=(-1)^{A}(-1)^{X}}$

${\displaystyle [A,B]\cdot X=A\cdot (B\cdot X)-(-1)^{AB}B\cdot (A\cdot X).}$

Эквивалентно представление L это Z₂-расширенное представление универсальная обертывающая алгебра из L что соответствует третьему уравнению выше.

Унитарное представление звездной супералгебры Ли

А ^* Супералгебра Ли комплексная супералгебра Ли, снабженная инволютивный антилинейный карта ^* таким образом, что * соблюдает оценку и

[а, б]^*= [b^*, а^*].

А унитарное представительство такой алгебры Ли является Z₂ оцененный Гильбертово пространство которое является представлением супералгебры Ли, как указано выше, вместе с требованием, чтобы самосопряженный элементы супералгебры Ли представлены Эрмитский трансформации.

Это основная концепция в изучении суперсимметрия вместе с представлением супералгебры Ли на алгебре. Скажите, что А - это *-алгебра представление супералгебры Ли (вместе с дополнительным требованием, чтобы * соблюдала градуировку и L [a]^*=-(-1)^ЛаL^*[а^*]) и ЧАС это унитарная репутация, а также ЧАС это унитарное представительство А.

Все эти три повторения совместимы, если для чистых элементов a из A, | ψ> in ЧАС и L в супералгебре Ли,

L [a | ψ>)] = (L [a]) | ψ> + (- 1)^Лаа (L [| ψ>]).

Иногда супералгебра Ли встроенный внутри A в том смысле, что существует гомоморфизм из универсальная обертывающая алгебра супералгебры Ли к A. В этом случае приведенное выше уравнение сводится к

L [a] = La - (- 1)^ЛааЛ.

Этот подход позволяет избежать работы напрямую с супергруппой Ли и, следовательно, избежать использования вспомогательных Числа Грассмана.

Смотрите также

• Градуированное векторное пространство
• Представление алгебры Ли
• Теория представлений алгебр Хопфа