Теория жесткости (физика) - Rigidity theory (physics)

Теория жесткости, или теория топологических ограничений, представляет собой инструмент для прогнозирования свойств сложных сетей (таких как очки ) в зависимости от их состава. Он был представлен Филлипсом в 1979 году.^[1] и 1981^[2], и усовершенствован Торпом в 1983 году.^[3] Вдохновленный изучением устойчивость механических ферм как первопроходец Джеймс Клерк Максвелл^[4], и плодотворной работой над структурой стекла, выполненной Уильям Холдер Захариасен^[5], эта теория сводит сложные молекулярные сети к узлам (атомам, молекулам, белкам и т. д.), ограниченным стержнями (химические ограничения), таким образом отфильтровывая микроскопические детали, которые в конечном итоге не влияют на макроскопические свойства. Эквивалентную теорию разработал П.К. Гупта А.Р. Купера в 1990 году, где вместо узлов, представляющих атомы, они представляли единицу многогранники^[6]. Примером этого могут быть тетраэдры SiO в чистом стеклообразном состоянии. кремнезем. Этот стиль анализа находит применение в биологии и химии, например, для понимания адаптивности сетей белок-белкового взаимодействия.^[7] Теория жесткости, применяемая к молекулярным сетям, возникающим в результате фенотипического проявления определенных заболеваний, может дать представление об их структуре и функциях.

В молекулярных сетях атомы могут быть ограничены радиальными связями, растягивающими связи двух тел, которые сохраняют фиксированные межатомные расстояния, и угловыми ограничениями на изгиб связей трех тел, которые удерживают углы фиксированными вокруг их средних значений. Согласно критерию Максвелла, механическая ферма - это изостатический когда количество ограничений равно количеству степени свободы узлов. В этом случае ферма оптимально закреплена, будучи жесткой, но не имеющей стресс. Этот критерий был применен Филлипсом к молекулярным сетям, которые называются гибкими, напряженно-жесткими или изостатическими, когда количество ограничений на атом соответственно меньше, больше или равно 3, то есть количеству степеней свободы на атом в трехэлементной системе. размерная система.^[8] То же условие применяется к случайная упаковка сфер, изостатических на заклинивание Как правило, условия стеклования будут оптимальными, если сеть изостатическая, что, например, имеет место для чистой кремнезем.^[9] Гибкие системы демонстрируют внутренние степени свободы, называемые гибкими режимами.^[3] в то время как напряженно-жесткие из них сложны из-за большого количества ограничений и имеют тенденцию кристаллизоваться вместо образования стекла во время быстрой закалки.

Вывод изостатического состояния

Условия изостатичности могут быть получены, глядя на внутренние степени свободы общей трехмерной сети. За ${\displaystyle N}$ узлы, ${\displaystyle N_{c}}$ ограничения и ${\displaystyle M_{eq}}$ уравнения равновесия, число степеней свободы равно

${\displaystyle F=3N-N_{c}-M_{eq}}$

Член узла увеличивается в 3 раза из-за наличия транснациональных степеней свободы в направлениях x, y и z. По аналогичным рассуждениям ${\displaystyle M_{eq}=6}$ в 3D, поскольку существует одно уравнение равновесия для поступательного и вращательного режимов в каждом измерении. Это дает

${\displaystyle F=3N-N_{c}-6}$

Это можно применить к каждому узлу в системе путем нормализации по количеству узлов.

${\displaystyle f=3-n_{c}}$

куда ${\displaystyle f={\frac {F}{N}}}$, ${\displaystyle n_{c}={\frac {N_{c}}{N}}}$, и последний член был опущен для атомистических систем ${\displaystyle 6<<N}$. Изостатические условия достигаются, когда ${\displaystyle f=0}$, что дает количество ограничений на атом в изостатическом условии ${\displaystyle n_{c}=3}$.

Альтернативный вывод основан на анализе модуль сдвига ${\displaystyle G}$ 3D-сети или твердой конструкции. Изостатическое условие, которое представляет собой предел механической устойчивости, эквивалентно установке ${\displaystyle G=0}$ в микроскопической теории упругости, которая обеспечивает ${\displaystyle G}$ как функция внутреннего координационного числа узлов и числа степеней свободы. Проблема была решена Алессио Закконе и Э. Скосса-Романо в 2011 году, которые вывели аналитическую формулу для модуля сдвига трехмерной сети пружин с центральной силой (ограничения растяжения связи): ${\displaystyle G=(1/30)\kappa R_{0}^{2}(z-2d)}$.^[10]Здесь, ${\displaystyle \kappa }$ - жесткость пружины, ${\displaystyle R_{0}}$ расстояние между двумя ближайшими соседними узлами, ${\displaystyle z}$ среднее координационное число сети (обратите внимание, что здесь ${\displaystyle zN/2\equiv N_{c}}$ и ${\displaystyle z/2\equiv n_{c}}$), и ${\displaystyle 2d=6}$ в 3D. Аналогичная формула была получена для 2D-сетей, в которых префактор равен ${\displaystyle 1/18}$ вместо ${\displaystyle 1/30}$Следовательно, основываясь на выражении Закконе-Скосса-Романо для ${\displaystyle G}$, при установке ${\displaystyle G=0}$, получается ${\displaystyle z=2d=6}$, или что то же самое в других обозначениях, ${\displaystyle n_{c}=3}$, определяющий изостатическое состояние Максвелла. Аналогичный анализ может быть выполнен для трехмерных сетей с взаимодействиями изгиба связей (помимо растяжения связей), что приводит к изостатическому условию ${\displaystyle z=2.4}$, с более низким порогом из-за угловых ограничений, накладываемых изгибом связи.^[11]

Развитие стекольной науки

Теория жесткости позволяет прогнозировать оптимальные изостатические составы, а также зависимость свойств стекла от состава путем простого перечисления ограничений.^[12]. Эти свойства стекла включают, но не ограничиваются, модуль упругости, модуль сдвига, объемный модуль, плотность, Коэффициент Пуассона, коэффициент теплового расширения, твердость^[13], и стойкость. В некоторых системах из-за сложности прямого перечисления ограничений вручную и знания всей системной информации априори, теория часто используется в сочетании с вычислительными методами в материаловедении, такими как молекулярная динамика (МД). Примечательно, что теория сыграла важную роль в развитии Стекло Gorilla Glass 3.^[14] Распространяется на стекла при конечной температуре^[15] и конечное давление,^[16] Теория жесткости использовалась для предсказания температуры стеклования, вязкости и механических свойств.^[8] Это также применялось к сыпучие материалы^[17] и белки.^[18]

В контексте мягких очков теорию жесткости использовали Алессио Дзакконе и Евгений Терентьев для прогнозирования температуры стеклования полимеров и обеспечения вывода на молекулярном уровне и интерпретации Уравнение Флори-Фокса.^[19] Теория Закконе-Терентьева также дает выражение для модуль сдвига стеклообразных полимеров в зависимости от температуры, что количественно согласуется с экспериментальными данными и способно описать падение на много порядков величины модуль сдвига при приближении к стеклованию снизу.^[19]

В 2001 году Булчанд и его коллеги обнаружили, что изостатические составы стеклообразных сплавов - предсказанные теорией жесткости - существуют не только при одном пороговом составе; скорее, во многих системах он охватывает небольшой, четко определенный диапазон композиций, промежуточных между гибкими (недостаточными) и напряженно-жесткими (чрезмерно ограниченными) областями.^[20] Это окно оптимально ограниченных очков, таким образом, называется промежуточная фаза или окно обратимости, так как стеклопакет внутри окна должен быть обратимым с минимальным гистерезисом.^[20] Его существование приписывают стеклянной сети, состоящей почти исключительно из различной популяции изостатических молекулярных структур.^[16][21] Существование промежуточной фазы остается спорной, но стимулирующая тема в стеклянной науке.

Рекомендации

1. Филлипс, Дж. К. (1979). «Топология ковалентных некристаллических твердых тел I: ближний порядок в халькогенидных сплавах». Журнал некристаллических твердых тел. 34 (2): 153–181. Bibcode:1979JNCS ... 34..153P. Дои:10.1016/0022-3093(79)90033-4.
2. Филлипс, Дж. К. (1981-01-01). «Топология ковалентных некристаллических твердых тел II: средний порядок в халькогенидных сплавах и A-Si (Ge)». Журнал некристаллических твердых тел. 43 (1): 37–77. Дои:10.1016/0022-3093(81)90172-1. ISSN  0022-3093.
3. Торп, М. Ф. (1983). «Непрерывные деформации в случайных сетях». Журнал некристаллических твердых тел. 57 (3): 355–370. Bibcode:1983JNCS ... 57..355T. Дои:10.1016/0022-3093(83)90424-6.
4. Максвелл, Дж. Клерк (апрель 1864 г.). «XLV. Об обратных фигурах и диаграммах сил». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 27 (182): 250–261. Дои:10.1080/14786446408643663. ISSN  1941-5982.
5. Захариасен, В. Х. (октябрь 1932 г.). «АТОМНАЯ УСТАНОВКА В СТЕКЛЕ». Журнал Американского химического общества. 54 (10): 3841–3851. Дои:10.1021 / ja01349a006. ISSN  0002-7863.
6. Gupta, P.K .; Купер, А. Р. (1990-08-02). «Топологически неупорядоченные сети жестких многогранников». Журнал некристаллических твердых тел. XV Международный конгресс по стеклу. 123 (1): 14–21. Дои:10.1016 / 0022-3093 (90) 90768-Н. ISSN  0022-3093.
7. Шарма, Анкуш; Ferraro MV; Майорано Ф; Blanco FDV; Guarracino MR (февраль 2014 г.). «Жесткость и гибкость в сетях взаимодействия белок-белок: тематическое исследование нервно-мышечных расстройств». arXiv:1402.2304.
8. Мауро, Дж. К. (май 2011 г.). «Топологическая теория ограничений стекла» (PDF). Являюсь. Ceram. Soc. Бык.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
9. Bauchy, M .; Микуло; Селино; Ле Ру; Боэро; Массобрио (август 2011 г.). «Угловая жесткость в сетчатых тетраэдрических стеклах с изменяющимся составом». Физический обзор B. 84 (5): 054201. Bibcode:2011PhRvB..84e4201B. Дои:10.1103 / PhysRevB.84.054201.
10. Zaccone, A .; Скосса-Романо, Э. (2011). «Приближенное аналитическое описание неаффинного отклика аморфных тел». Физический обзор B. 83: 184205. arXiv:1102.0162. Дои:10.1103 / PhysRevB.83.184205.
11. Закконе, А. (2013). «УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ КОВАЛЕНТНО-АМОРФНЫХ ТЕЛ». Буквы B по современной физике. 27: 1330002. Дои:10.1142 / S0217984913300020.
12. Боши, Матье (2019-03-01). «Расшифровка атомного генома стекол с помощью теории топологических ограничений и молекулярной динамики: обзор». Вычислительное материаловедение. 159: 95–102. Дои:10.1016 / j.commatsci.2018.12.004. ISSN  0927-0256.
13. Smedskjaer, Morten M .; Мауро, Джон С .; Юэ Юаньчжэн (08.09.2010). «Прогноз твердости стекла с использованием теории температурно-зависимых ограничений». Письма с физическими проверками. 105 (11): 115503. Bibcode:2010PhRvL.105k5503S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.105.115503. PMID  20867584.
14. Рэй, Питер. «Gorilla Glass 3 объяснил (и это первое моделирование для Corning!)». Керамические технологии сегодня. Американское керамическое общество. Получено 24 января 2014.
15. Smedskjaer, M. M .; Мауро; Сен; Юэ (сентябрь 2010 г.). «Количественный дизайн стеклообразных материалов с использованием теории температурно-зависимых ограничений». Химия материалов. 22 (18): 5358–5365. Дои:10,1021 / см 1016799.
16. Bauchy, M .; Микуло (февраль 2013 г.). "Транспортные аномалии и адаптивные зависящие от давления топологические ограничения в тетраэдрических жидкостях: свидетельство аналога окна обратимости". Phys. Rev. Lett. 110 (9): 095501. Bibcode:2013ПхРвЛ.110и5501Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.095501. PMID  23496720.
17. Мукарзель, Кристиан Ф. (март 1998 г.). «Изостатический фазовый переход и нестабильность в жестких зернистых материалах». Письма с физическими проверками. 81 (8): 1634. arXiv:cond-mat / 9803120. Bibcode:1998ПхРвЛ..81.1634М. Дои:10.1103 / PhysRevLett.81.1634.
18. Филлипс, Дж. К. (2004). «Теория ограничений и иерархическая динамика белков». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 16 (44): S5065 – S5072. Bibcode:2004JPCM ... 16S5065P. Дои:10.1088/0953-8984/16/44/004.
19. Zaccone, A .; Терентьев, Э. (2013). «Беспорядочное плавление и стеклование в аморфных твердых телах». Письма с физическими проверками. 110 (17): 178002. arXiv:1212.2020. Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.178002. PMID  23679782.
20. Boolchand, P .; Георгиев, Гудман (2001). «Открытие промежуточной фазы в халькогенидных стеклах». Журнал оптоэлектроники и перспективных материалов. 3 (3): 703–720.
21. Bauchy, M .; Микуло; Боэро; Массобрио (апрель 2013 г.). «Композиционные пороги и аномалии, связанные с переходами жесткости в сетевых стеклах». Письма с физическими проверками. 110 (16): 165501. Bibcode:2013ПхРвЛ.110п5501Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.165501. PMID  23679615.