Роза (математика) - Rose (mathematics) - Wikipedia

Роза с 7 лепестками (k = 7)

Роза с 8 лепестками (k = 4).

Кривые розы, определяемые

{ Displaystyle г = соз К тета}

, для различных значений k=п/d.

В математика, а Роза или же родона кривая это синусоида нанесенный в полярные координаты.

Общий обзор

Вплоть до сходство, все эти кривые можно выразить полярным уравнением вида

{ Displaystyle ! , г = соз (к тета)}

^[1]

или, альтернативно, как пара декартовых параметрических уравнений вида

{ Displaystyle ! , Икс = соз (к тета) соз ( тета)}

{ Displaystyle ! , Y = соз (к тета) грех ( тета)}

Если k является целым числом, кривая будет в форме розы с

2k лепестки, если k четный, и
k лепестки, если k странно.

Когда k четное, весь график розы будет прослежен ровно один раз, когда значение тета, θ, меняется с 0 на 2 ${ displaystyle pi}$ . Когда k нечетно, это произойдет в интервале от 0 до ${ displaystyle pi}$ . (В более общем плане это произойдет на любом интервале длиной 2 ${ displaystyle pi}$ за k даже, и ${ displaystyle pi}$ за k странный.)

Если k является полуцелым числом (например, 1/2, 3/2, 5/2), кривая будет иметь форму розы с 4k лепестки. Пример: п=7, d=2, k= п/d = 3,5, поскольку θ меняется с 0 на 4 ${ displaystyle pi}$ .

Если k можно выразить как п ± 1/6, где п - ненулевое целое число, кривая будет иметь форму розы с 12k лепестки.

Если k можно выразить как п/ 3, где п является целым числом, не делимым на 3, кривая будет иметь форму розы с п лепестки, если п нечетное и 2п лепестки, если п даже.

Если k является рациональный, то кривая закрыто и имеет конечную длину. Если k является иррациональный, то он незамкнутый и имеет бесконечную длину. Кроме того, график розы в этом случае образует плотный набор (т.е. он подходит произвольно близко к каждой точке единичного круга).

С

{ Displaystyle грех (к тета) = соз влево (к тета - { гидроразрыва { пи} {2}} вправо) = соз влево (к влево ( тета - { гидроразрыва { pi} {2k}} right) right)}

для всех ${ displaystyle theta}$ , кривые, заданные полярными уравнениями

{ Displaystyle , г = грех (к тета)}

и

{ Displaystyle , г = соз (к тета)}

идентичны, за исключением вращения ${ displaystyle pi}$ /2k радианы.

Кривые Родонеи были названы итальянским математиком Гвидо Гранди между 1723 и 1728 годами.^[2]

Площадь

Роза, полярное уравнение которой имеет вид

{ Displaystyle г = а соз (к тета) ,}

куда k положительное целое число, имеет площадь

{ displaystyle { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 pi} (a cos (k theta)) ^ {2} , d theta = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( pi + { frac { sin (4k pi)} {4k}} right) = { frac { pi a ^ {2}} {2} }}

если k четный, и

{ displaystyle { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { pi} (a cos (k theta)) ^ {2} , d theta = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ frac { pi} {2}} + { frac { sin (2k pi)} {4k}} right) = { frac { pi a ^ {2}} {4}}}

если k странно.

То же самое относится и к розам с полярными уравнениями вида

{ Displaystyle г = а грех (к тета) ,}

поскольку их графики - это просто жесткие вращения роз, определенных с помощью косинуса.

Как параметр k влияет на формы

В виде k = п, для целого числа п, форма будет похожа на цветок. Если п странно, половина из них будет перекрываться, образуя цветок с п лепестки. Однако если п ровно, лепестки не будут перекрываться, образуя цветок с 2п лепестки.

Когда d простое число, то п/d это наименее распространенная форма, и лепестки будут тянуться вокруг, чтобы перекрывать другие лепестки. Количество лепестков, каждый из которых перекрывается, равно тому, как далеко в последовательности простых чисел это простое число равно +1, то есть 2 равно 2, 3 равно 3, 5 равно 4, 7 равно 5 и т. Д.

В виде k = 1/d когда d четный, он будет выглядеть как серия d/ 2 петли, которые встречаются на 2 маленьких петлях в центре, касаясь (0, 0) от вертикали и симметрично относительно Иксось. если d странно, тогда у него будет d/ 2 петли, которые встречаются в небольшой петле в центре либо слева (когда в форме d = 4п - 1) или правый (d = 4п + 1).

Если d не простое и п не 1, тогда он будет выглядеть как серия взаимосвязанных петель.

Если k - иррациональное число (например, ${ displaystyle pi}$ , ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ и т. д.), то у кривой будет бесконечно много лепестков, и она будет плотный на единичном диске.

Примеры роз, созданных с помощью шестеренок с разным передаточным числом

п=1, d=1, k=1.

п=1, d=3, k≈0.333

п=3, d=1, k=3

п=4, d=5, k=0.8

Параметр смещения

Воспроизвести медиа

Анимационный эффект изменения параметра смещения

Добавление параметра смещения c, поэтому полярное уравнение принимает вид

{ Displaystyle ! , г = соз (к тета) + с}

изменяет форму, как показано справа. В случае, если параметр k - нечетное целое число, две перекрывающиеся половины кривой отделяются, поскольку смещение изменяется от нуля.

Программирование

BBC BASIC для windows

remBBCбазовыйзаокнаk=4р=100:remрадиусисточник200,200:remместотоориентацияизнатоэкранзат=0к20шаг1/(4*число Пи*10)Икс=р*(потому что(k*т)*потому что(т))у=р*(потому что(k*т)*грех(т))участокИкс*2,у*2:remдвойнойзаграфическийразрешающая способностьследующий

р

k <- 4т <- seq(0, 4*число Пи, длина.из=500)Икс <- потому что(k*т)*потому что(т)у <- потому что(k*т)*грех(т)участок(Икс,у, тип="л", Col="синий")

MATLAB и OCTAVE

функцияРоза(del_theta, k, амплитуда)% входов:% del_theta = del_theta - размер дискретного шага для дискретизации непрерывного диапазона углов от 0 до 2 * pi% k = лепестковый коэффициент%, если k нечетное, то k - количество лепестков%, если k четное, тогда k - половина количества лепестков% амплитуды = длина каждого лепестка% выходов:% 2D-график из вызова этой функции иллюстрирует пример тригонометрии и 2D-декартового построения.тета = 0:del_theta:2*число Пи;Икс = амплитуда*потому что(k*тета).*потому что(тета);у = амплитуда*потому что(k*тета).*грех(тета);участок(Икс,у)

JavaScript и p5.js

k = n / d; beginShape (); for (let a = 0; a 
Смотрите также









Кривая Лиссажу
четырехлистник - кривая розы, где k = 2.
Маурер Роуз
Роза (топология)
Спирограф
Примечания









^ Математические модели к Х. Мартин Канди и А.П. Роллетт, второе издание, 1961 г. (Oxford University Press), стр. 73.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Родонея", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
внешняя ссылка









Вайсштейн, Эрик В. "Роза". MathWorld.
Апплет для создания розы с параметром k
Визуальный словарь специальных плоских кривых Кса Ли
Интерактивный пример с JSXGraph
Интерактивный пример с p5

[1] Математические модели к Х. Мартин Канди и А.П. Роллетт, второе издание, 1961 г. (Oxford University Press), стр. 73.

[2] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Родонея", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.

[1]

[2]