Вращательная инвариантность - Rotational invariance

В математика, а функция определено на внутреннее пространство продукта говорят, что имеет вращательная инвариантность если его значение не меняется при произвольном вращения применяются к его аргументу.

Математика

Функции

Например, функция

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

инвариантен относительно поворотов плоскости вокруг начала координат, поскольку для повернутого набора координат через любую угол θ

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

функция после некоторого сокращения сроков принимает точно такой же вид

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

Вращение координат можно выразить с помощью матрица форма с использованием матрица вращения,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$

или символически Икс′ = Rx. Символически, инвариантность вращения вещественной функции двух вещественных переменных равна

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

На словах функция повернутых координат принимает точно такой же вид, как и с начальными координатами, с той лишь разницей, что повернутые координаты заменяют исходные. Для действительная функция трех или более реальных переменных, это выражение легко расширяется с помощью соответствующих матриц вращения.

Концепция также распространяется на вектор-функция ж одной или нескольких переменных;

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$

Во всех вышеупомянутых случаях вращаются аргументы (здесь для конкретности называемые «координатами»), а не сама функция.

Операторы

Для функция

${\displaystyle f:X\rightarrow X}$

который отображает элементы из подмножество Икс из реальная линия ℝ себе, вращательная инвариантность также может означать, что функция ездит на работу с поворотами элементов в Икс. Это также относится к оператор который действует на такие функции. Примером может служить двумерный Оператор Лапласа

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

который действует на функцию ж чтобы получить другую функцию ∇²ж. Этот оператор инвариантен относительно поворотов.

Если грамм это функция грамм(п) = ж(р(п)), куда р - любое вращение, то (∇²грамм)(п) = (∇²ж )(р(п)); то есть вращение функции просто вращает ее лапласиан.

Физика

В физика, если система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, то ее Лагранжиан инвариантно относительно вращения. В соответствии с Теорема Нётер, если действие (интеграл по времени от своего лагранжиана) физической системы инвариантен относительно вращения, то угловой момент сохраняется.

Приложение к квантовой механике

Дальнейшая информация: Оператор вращения (квантовая механика) и Симметрия в квантовой механике

В квантовая механика, вращательная инвариантность это свойство, которое после вращение новая система все еще подчиняется Уравнение Шредингера. То есть

${\displaystyle [R,E-H]=0}$

для любого вращения р. Поскольку вращение явно не зависит от времени, оно коммутирует с оператором энергии. Таким образом, для инвариантности вращения мы должны иметь [р, ЧАС] = 0.

За бесконечно малые вращения (в ху-самолет для этого примера; аналогично для любой плоскости) под углом dθ (бесконечно малый) оператор вращения

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

тогда

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

таким образом

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

другими словами угловой момент сохраняется.

Смотрите также

• Изотропия
• Теорема Максвелла
• Вращательная симметрия
• Осевая симметрия

Рекомендации

• Стенгер, Виктор Дж. (2000). Вневременная реальность. Книги Прометея. Особенно гл. 12. Нетехнический.