ТАК (8) - SO(8)

В математика, ТАК (8) это специальная ортогональная группа действуя на восьмимерном Евклидово пространство. Это может быть как реальный, так и сложный простая группа Ли ранга 4 и размерности 28.

Отжим (8)

Как и все специальные ортогональные группы ${ displaystyle n> 2}$ , SO (8) не односвязный, иметь фундаментальная группа изоморфный к Z₂. В универсальный чехол SO (8) - это вращательная группа Отжим (8).

Центр

В центр SO (8) является Z₂, диагональные матрицы {± I} (как и для всех SO (2п) с 2п ≥ 4), а центр Spin (8) равен Z₂×Z₂ (как и для всех Spin (4п), 4п ≥ 4).

Триальность

SO (8) уникален среди простые группы Ли в этом его Диаграмма Дынкина, (D₄ по классификации Дынкина), обладает тройной симметрия. Отсюда возникает особенность Spin (8), известная как триальность. С этим связан тот факт, что два спинор представления, так же хорошо как фундаментальный все векторные представления Spin (8) являются восьмимерными (для всех других спинорных групп спинорное представление либо меньше, либо больше, чем векторное представление). Триальность автоморфизм Спина (8) живет в группа внешних автоморфизмов спина (8), изоморфного симметричная группа S₃ который меняет эти три представления. Группа автоморфизмов действует в центре Z₂ Икс Z₂ (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S₃ которые также можно рассматривать как общая линейная группа над конечным полем с двумя элементами, S₃ ≅GL (2,2)). Когда один фактор Spin (8) на один центральный Z₂, нарушая эту симметрию и получая SO (8), оставшиеся группа внешних автоморфизмов только Z₂. Симметрия тройственности снова действует на дальнейшее частное SO (8) /Z₂.

Иногда Spin (8) появляется естественным образом в «расширенной» форме, как группа автоморфизмов Spin (8), которая распадается как полупрямой продукт: Aut (Spin (8)) ≅ PSO (8) ⋊ S₃.

Единицы октонионов

Элементы SO (8) можно описать единицей октонионы, аналогично тому, как элементы SO (2) могут быть описаны с помощью единичные комплексные числа и элементы ТАК (4) можно описать с помощью кватернионы единиц. Однако отношения сложнее, отчасти из-за неассоциативность октонионов. Общий элемент в SO (8) может быть описан как произведение 7 умножений слева, 7 умножений справа, а также 7 умножений на единичные октонионы (умножение представляет собой композицию умножения слева и умножения справа на одно и то же октонион и однозначно определяется из-за того, что октонионы подчиняются Личности муфанг ).

Можно показать, что элемент SO (8) может быть построен с бимумножениями, сначала показав, что пары отражений через начало координат в 8-мерном пространстве соответствуют парам бимумножений на единичные октонионы. В триальность описываемый ниже автоморфизм Spin (8) дает аналогичные конструкции с левыми и правыми умножениями.^[1]

Октонионы и триальность

Если ${ displaystyle x, y, z in mathbb {O}}$ и ${ Displaystyle (ху) г = 1}$ , можно показать, что это эквивалентно ${ Displaystyle х (yz) = 1}$ , означающий, что ${ displaystyle xyz = 1}$ без двусмысленности. Тройка карт ${ Displaystyle ( альфа, бета, гамма)}$ которые сохраняют эту идентичность, так что ${ Displaystyle х ^ { альфа} у ^ { бета} г ^ { гамма} = 1}$ называется изотопия. Если три карты изотопии находятся в ${ displaystyle operatorname {SO (8)}}$ , изотопия называется ортогональной изотопией. Если ${ displaystyle gamma in operatorname {SO (8)}}$ , затем следуя приведенному выше ${ displaystyle gamma}$ можно описать как произведение двух умножений единичных октонионов, скажем ${ displaystyle gamma = B_ {u_ {1}} ... B_ {u_ {n}}}$ . Позволять ${ Displaystyle альфа, бета в OperatorName {SO (8)}}$ быть соответствующими произведениями левого и правого умножения на сопряженные (то есть мультипликативные обратные) одних и тех же единичных октонионов, поэтому ${ displaystyle alpha = L _ { overline {u_ {1}}} ... L _ { overline {u_ {n}}}}$ , ${ displaystyle beta = R _ { overline {u_ {1}}} ... R _ { overline {u_ {n}}}}$ . Простой расчет показывает, что ${ Displaystyle ( альфа, бета, гамма)}$ это изотопия. В результате неассоциативности октонионов единственная другая ортогональная изотопия для ${ displaystyle gamma}$ является ${ Displaystyle (- альфа, - бета, гамма)}$ . Поскольку набор ортогональных изотопий дает покрытие 2 к 1 ${ displaystyle operatorname {SO} (8)}$ , они на самом деле должны быть ${ displaystyle operatorname {Spin} (8)}$ .

Мультипликативные инверсии октонионов двусторонние, что означает, что ${ displaystyle xyz = 1}$ эквивалентно ${ displaystyle yzx = 1}$ . Это означает, что данная изотопия ${ Displaystyle ( альфа, бета, гамма)}$ можно циклически переставлять, чтобы получить еще две изотопии ${ Displaystyle ( бета, гамма, альфа)}$ и ${ Displaystyle ( гамма, альфа, бета)}$ . Это дает порядок 3 внешний автоморфизм из ${ displaystyle operatorname {Spin} (8)}$ . Этот "тройственный" автоморфизм является исключительным среди спиновые группы. Не существует тройственного автоморфизма ${ displaystyle operatorname {SO} (8)}$ , что касается данного ${ displaystyle gamma}$ соответствующие карты ${ displaystyle alpha, beta}$ только однозначно определены до подписания.^[1]

Корневая система

{ displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0)}

{ displaystyle ( pm 1,0, pm 1,0)}

{ displaystyle ( pm 1,0,0, pm 1)}

{ displaystyle (0, pm 1, pm 1,0)}

{ displaystyle (0, pm 1,0, pm 1)}

{ displaystyle (0,0, pm 1, pm 1)}

Группа Вейля

это Weyl /Группа Кокстера имеет 4! × 8 = 192 элемента.

Матрица Картана

{ displaystyle { begin {pmatrix} 2 & -1 & -1 & -1 - 1 & 2 & 0 & 0 - 1 & 0 & 2 & 0 - 1 & 0 & 0 & 2 end {pmatrix}}}

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б Джон Х. Конвей; Дерек А. Смит (23 января 2003 г.). О кватернионах и октонионах. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-56881-134-5.

Адамс, Дж. Ф. (1996), Лекции об исключительных группах Ли, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-00526-7
Шевалле, Клод (1997), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда, Собрание сочинений, 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2 (первоначально опубликовано в 1954 г. Columbia University Press )
Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы, Кембриджские исследования по высшей математике, 50, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55177-3

[ConwaySmith2003-1] а ^б Джон Х. Конвей; Дерек А. Смит (23 января 2003 г.). О кватернионах и октонионах. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-56881-134-5.

[1]