Отделимое состояние - Separable state

В квантовая механика, разделимые квантовые состояния находятся состояния без квантовая запутанность.

Разделимые чистые состояния

Для простоты ниже предполагается, что все соответствующие пространства состояний конечномерны. Во-первых, рассмотрим разделимость для чистые состояния.

Позволять ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ быть квантово-механическими пространствами состояний, то есть конечномерными Гильбертовы пространства с базовыми состояниями ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}}$ и ${\displaystyle \{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}}$соответственно. Автор постулат квантовой механики, пространство состояний составной системы задается тензорное произведение

${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

с базовыми состояниями ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}}$, или в более компактных обозначениях ${\displaystyle \{|a_{i}b_{j}\rangle \}}$. Из самого определения тензорного произведения любой вектор нормы 1, то есть чистое состояние составной системы, можно записать как

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

где ${\displaystyle c_{i,j}}$ является константой. Если чистое состояние ${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{1}\otimes H_{2}}$ можно записать в виде ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }$ где ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ чистое состояние i-й подсистемы, оно называется отделяемый. В противном случае это называется запутанный. Когда система находится в запутанном чистом состоянии, невозможно назначить состояния ее подсистемам. В надлежащем смысле это будет верно и для случая смешанного состояния.

Формально вложение продукта состояний в пространство продукта дается выражением Сегре встраивание. То есть квантово-механическое чистое состояние отделимо тогда и только тогда, когда оно находится в образе вложения Сегре.

Вышеупомянутое обсуждение может быть распространено на случай, когда пространство состояний является бесконечномерным и практически ничего не меняется.

Разделимость для смешанных состояний

Рассмотрим случай смешанного состояния. Смешанное состояние составной системы описывается матрица плотности ${\displaystyle \rho }$ действующий на ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$. ρ отделимо, если существуют ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$, ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ и ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ которые представляют собой смешанные состояния соответствующих подсистем, такие что

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

где

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

В противном случае ${\displaystyle \rho }$ называется запутанным состоянием. Без ограничения общности в приведенном выше выражении можно считать, что ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ и ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ все проекции ранга 1, т. е. представляют чистые ансамбли соответствующих подсистем. Из определения ясно, что семейство сепарабельных состояний есть выпуклый набор.

Обратите внимание, что, опять же из определения тензорного произведения, любая матрица плотности, фактически любая матрица, действующая в составном пространстве состояний, может быть тривиально записана в желаемой форме, если мы откажемся от требования, чтобы ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ и ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ сами государства и ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$ Если эти требования выполнены, то мы можем интерпретировать общее состояние как распределение вероятностей по некоррелированным состояния продукта.

С точки зрения квантовые каналы, отделимое состояние может быть создано из любого другого состояния с помощью локальные действия и классическая коммуникация в то время как запутанное состояние не может.

Когда пространства состояний бесконечномерны, матрицы плотности заменяются положительными класс трассировки операторы со следом 1, и состояние разделимо, если оно может быть аппроксимировано в норме следа состояниями указанной выше формы.

Если есть только один ненулевой ${\displaystyle p_{k}}$, то состояние называется просто отделяемый (или это называется «состояние продукта»).

Распространение на многочастный случай

Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай квантовой системы, состоящей более чем из двух подсистем. Пусть система имеет п подсистемы и имеют пространство состояний ${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$. Чистое состояние ${\displaystyle |\psi \rangle \in H}$ отделимо, если принимает вид

${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .}$

Аналогично смешанное состояние ρ, действующее на ЧАС отделима, если это выпуклая сумма

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.}$

Или, в бесконечномерном случае, ρ отделимо, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями указанного выше вида.

Критерий отделимости

Проблема определения того, является ли состояние разделимым в целом, иногда называют проблема отделимости в квантовая теория информации. Считается сложной проблемой. Было показано, что это NP-жесткий.^[1][2] Некоторое понимание этой трудности может быть получено, если кто-то попытается решить проблему, используя метод прямой грубой силы для фиксированного измерения. Мы видим, что проблема быстро становится неразрешимой даже для небольших размеров. Таким образом, требуются более сложные рецептуры. Проблема отделимости является предметом текущих исследований.

А критерий отделимости является необходимым условием, которому должно удовлетворять государство, чтобы быть разделимым. В малоразмерной (2 х 2 и 2 х 3) случаев Критерий Переса-Городецкого фактически является необходимым и достаточным условием отделимости. Другие критерии отделимости включают (но не ограничиваются): критерий дальности, критерий редукции, и те, которые основаны на соотношении неопределенностей.^[3][4][5][6] См. Ссылку.^[7] для обзора критериев разделимости в системах с дискретными переменными.

В системах с непрерывными переменными Критерий Переса-Городецкого также применяется. В частности, Саймон ^[8] сформулировал частный вариант критерия Переса-Городецкого в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для ${\displaystyle 1\oplus 1}$-модовые гауссовские состояния (см.^[9] для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позже было найдено ^[10] что условие Саймона также необходимо и достаточно для ${\displaystyle 1\oplus n}$-модовых гауссовских состояний, но уже недостаточно для ${\displaystyle 2\oplus 2}$-модовые гауссовские состояния. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов ^[11][12] или с помощью энтропийных мер.^[13][14]

Характеризация через алгебраическую геометрию

Квантовая механика может быть смоделирована проективное гильбертово пространство, а категориальный продукт двух таких пространств является Сегре встраивание. В двудольном случае квантовое состояние сепарабельно тогда и только тогда, когда оно лежит в образ вложения Сегре.Джон Магне Лейнаас, Ян Мирхейм и Эйрик Оврум в своей статье «Геометрические аспекты запутанности»^[15] описать проблему и изучить геометрию сепарабельных состояний как подмножество общих матриц состояний. Это подмножество имеет некоторое пересечение с подмножеством состояний, имеющих Критерий Переса-Городецкого. В этой статье Leinaas et al. также дают численный подход к проверке разделимости в общем случае.

Проверка на разделимость

Проверка на разделимость в общем случае - это NP-жесткий проблема.^[1][2] Leinaas et. al.^[15] сформулировал итерационный вероятностный алгоритм для проверки того, является ли данное состояние разделимым. Когда алгоритм работает успешно, он дает явное случайное представление данного состояния как отдельного состояния. В противном случае он дает расстояние от данного состояния до ближайшего разделяемого состояния, которое оно может найти.

Смотрите также

• Свидетель запутывания

использованная литература

1. Гурвиц, Л., Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность, в материалах 35-го симпозиума ACM по теории вычислений, ACM Press, Нью-Йорк, 2003.
2. Севаг Гарибян, Сильная NP-трудность проблемы квантовой отделимости, Квантовая информация и вычисления, Vol. 10, No. 3 & 4, pp. 343-360, 2010. arXiv: 0810.4507.
3. Hofmann, Holger F .; Такеучи, Сигеки (22 сентября 2003 г.). «Нарушение отношений локальной неопределенности как признак запутанности». Физический обзор A. 68 (3): 032103. arXiv:Quant-ph / 0212090. Bibcode:2003PhRvA..68c2103H. Дои:10.1103 / PhysRevA.68.032103.
4. Гюне, Отфрид (18 марта 2004 г.). «Характеристика запутанности через отношения неопределенности». Письма с физическими проверками. 92 (11): 117903. arXiv:Quant-ph / 0306194. Bibcode:2004PhRvL..92k7903G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173.
5. Гюне, Отфрид; Левенштейн, Мацей (24 августа 2004 г.). «Энтропийные отношения неопределенности и запутанность». Физический обзор A. 70 (2): 022316. arXiv:Quant-ph / 0403219. Bibcode:2004PhRvA..70b2316G. Дои:10.1103 / PhysRevA.70.022316.
6. Хуан, Ичэнь (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности через отношения неопределенности вогнутой функции». Физический обзор A. 82 (1): 012335. Bibcode:2010PhRvA..82a2335H. Дои:10.1103 / PhysRevA.82.012335.
7. Гюне, Отфрид; Тот, Геза (2009). «Обнаружение запутывания». Отчеты по физике. 474 (1–6): 1–75. arXiv:0811.2803. Bibcode:2009ФР ... 474 .... 1Г. Дои:10.1016 / j.physrep.2009.02.004.
8. Саймон Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическими проверками. 84 (12): 2726–2729. arXiv:Quant-ph / 9909044. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2726С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310.
9. Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, J. I .; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическими проверками. 84 (12): 2722–2725. arXiv:Quant-ph / 9908056. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2722Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309.
10. Werner, R. F .; Вольф, М. М. (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическими проверками. 86 (16): 3658–3661. arXiv:Quant-ph / 0009118. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.3658Вт. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047.
11. Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическими проверками. 95 (23): 230502. arXiv:Quant-ph / 0508132. Bibcode:2005PhRvL..95w0502S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285.
12. Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическими проверками. 96 (5): 050503. arXiv:Quant-ph / 0507168. Bibcode:2006PhRvL..96e0503H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912.
13. Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическими проверками. 103 (16): 160505. arXiv:0909.0147. Bibcode:2009PhRvL.103p0505W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682.
14. Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации. 59 (10): 6774–6778. Дои:10.1109 / TIT.2013.2257936.
15. «Геометрические аспекты запутанности», Physical Review A 74, 012313 (2006)

внешние ссылки

• Веб-приложение "StateSeparator"