Последовательная связь - Serial relation

В теория множеств, раздел математики, серийное отношение, также называемый лево-тотальное отношение, это бинарное отношение р для которого каждый элемент домен имеет соответствующий ассортимент элемент (∀ Икс ∃ y  x R y).

Например, в ℕ = натуральные числа, отношение «меньше чем» (<) является последовательным. На его домен, а функция серийный.

А рефлексивное отношение является последовательным отношением, но обратное неверно. Однако последовательное отношение, которое симметричный и переходный может быть рефлексивным. В этом случае отношение является отношение эквивалентности.

Если строгий порядок серийный, то у него нет максимальный элемент.

В Евклидово и аффинная геометрия, серийное свойство отношения параллельные линии ${displaystyle (mparallel n)}$ выражается Аксиома Playfair.

В Principia Mathematica, Бертран Рассел и А. Н. Уайтхед относятся к "отношениям, которые порождают серию"^[1] так как серийные отношения. Их понятие отличается от этой статьи тем, что отношение может иметь конечный диапазон.

Для отношения р позволять {y: xRy } обозначают «соседнюю окрестность» Икс. Серийное отношение можно эквивалентно охарактеризовать как каждый элемент, имеющий непустую соседнюю окрестность. Аналогичным образом инверсный серийный номер Отношение - это отношение, в котором каждый элемент имеет непустую «окрестность-предшественницу».^[2] Чаще обратное последовательное отношение называется сюръективное отношение, и указывается серийным обратное отношение.^[3]

В нормальная модальная логика, расширение множества фундаментальных аксиом K по серийному свойству приводит к набору аксиом D.^[4]

Алгебраическая характеристика

Серийные отношения можно алгебраически охарактеризовать равенствами и неравенствами относительно составы отношений. Если ${displaystyle Rsubseteq X imes Y}$ и ${displaystyle Ssubseteq Y imes Z}$ два бинарных отношения, то их композиция р ; S определяется как отношение ${displaystyle R {;} S={(x,z)in X imes Zmid exists yin Y:(x,y)in Rland (y,z)in S}.}$

• Если р является последовательным отношением, то S ; р = ∅ следует S = ∅, для всех множеств W и отношения S ⊆ W×Икс, где ∅ обозначает пустое отношение.^[5][6]
• Пусть L будет универсальное отношение: ${displaystyle forall yforall z.yLz}$. А характеристика^{[прояснить ]} серийного отношения р является ${displaystyle R;L=L}$.^[7]
• Другой алгебраический характеристика^{[прояснить ]} серийных отношений включает дополняет отношений: Для любых отношений S, если р серийно тогда ${displaystyle {overline {R;S}}subseteq R;{ar {S}}}$, где ${displaystyle {ar {S}}}$ обозначает дополнение ${displaystyle S}$. Эта характеристика следует из распределения состава по объединению.^[5]:57[8]
• Серийное отношение р контрастирует с пустым отношением ∅ в том смысле, что ${displaystyle {overline {emptyset ;L}}=L}$ в то время как ${displaystyle {overline {R;L}}=emptyset .}$^[5]:63

Другой характеристики^{[прояснить ]} использовать отношение идентичности ${displaystyle I}$ и обратное отношение ${displaystyle R^{T}}$ из ${displaystyle R}$:

• ${displaystyle Isubseteq R;R^{T}}$
• ${displaystyle {ar {R}}subseteq R;{ar {I}}.}$^[5][3]

использованная литература

1. Б. Рассел и А. Н. Уайтхед (1910) Principia Mathematica, том первый, стр. 141 от университет Мичигана Историко-математический сборник
2. Яо, Ю. (2004). «Семантика нечетких множеств в теории грубых множеств». Сделки с необработанными наборами II. Конспект лекций по информатике. 3135. п. 309. Дои:10.1007/978-3-540-27778-1_15. ISBN  978-3-540-23990-1.
3. Гюнтер Шмидт (2011). Реляционная математика. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511778810. ISBN  9780511778810. Определение 5.8, стр. 57.
4. Джеймс Гарсон (2013) Модальная логика для философов, глава 11: Отношения между модальными логиками, рисунок 11.1, стр. 220, Издательство Кембриджского университета Дои:10.1017 / CBO97811393421117.014
5. Шмидт, Гюнтер; Стрёляйн, Томас (6 декабря 2012 г.). Отношения и графы: дискретная математика для компьютерных ученых. Springer Science & Business Media. п. 54. ISBN  978-3-642-77968-8.
6. Если S ≠ ∅ и р серийно, то ${displaystyle exists wexists x.wSx}$ подразумевает ${displaystyle exists wexists xexists y.wSxland xRy}$, следовательно ${displaystyle exists wexists y.w(S;R)y}$, следовательно ${displaystyle S;Req emptyset }$. Свойство следует из противопоставления.
7. ${displaystyle P=R;L={(x,z):exists y.xRyland yLz}}$ поскольку р серийно, формула в заданном понимании для п верно для каждого Икс и z, так ${displaystyle P=L}$.
8. Если р серийно, то ${displaystyle L=R;L=R;(Scup {ar {S}})=(R;S)cup (R;{ar {S}})}$, следовательно ${displaystyle {overline {R;S}}subseteq R;{ar {S}}}$.

• Цзин Тао Яо, Давиде Чуччи и Ян Чжан (2015). «Обобщенные грубые множества». В Януше Кацпшике и Витольде Педриче (ред.). Справочник по вычислительному интеллекту. Springer. С. 413–424. ISBN  9783662435052. Здесь: страница 416.
• Yao, Y.Y .; Вонг, С.К.М. (1995). «Обобщение приблизительных наборов с использованием отношений между значениями атрибутов» (PDF). Труды 2-й ежегодной совместной конференции по информационным наукам: 30–33..