Подпись оператора - Signature operator - Wikipedia

В математика, то оператор подписи является эллиптический дифференциальный оператор определенного на некотором подпространстве пространства дифференциальные формы на четномерном компактный Риманово многообразие, чей аналитический индекс такой же, как топологическая подпись многообразия, если размерность многообразия кратна четырем.^[1] Это экземпляр оператора типа Дирака.

Определение в четномерном случае

Позволять ${\displaystyle M}$ быть компактным Риманово многообразие четного измерения ${\displaystyle 2l}$. Позволять

${\displaystyle d:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p+1}(M)}$

быть внешняя производная на ${\displaystyle i}$-й порядок дифференциальные формы на ${\displaystyle M}$. Риманова метрика на ${\displaystyle M}$ позволяет нам определить Звездный оператор Ходжа ${\displaystyle \star }$ и вместе с ним внутренний продукт

${\displaystyle \langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta }$

на формах. Обозначим через

${\displaystyle d^{*}:\Omega ^{p+1}(M)\rightarrow \Omega ^{p}(M)}$

то сопряженный оператор внешнего дифференциала ${\displaystyle d}$. Этот оператор можно выразить чисто через оператор звезды Ходжа следующим образом:

${\displaystyle d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l+1}\star d\star =-\star d\star }$

Теперь рассмотрим ${\displaystyle d+d^{*}}$ действуя в пространстве всех форм ${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)}$.Один из способов рассматривать это как градуированный оператор: Пусть ${\displaystyle \tau }$ быть инволюция на пространстве все формы, определяемые:

${\displaystyle \tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Подтверждено, что ${\displaystyle d+d^{*}}$ противник коммутации с ${\displaystyle \tau }$ и, следовательно, переключает ${\displaystyle (\pm 1)}$-собственные подпространства ${\displaystyle \Omega _{\pm }(M)}$ из ${\displaystyle \tau }$

Как следствие,

${\displaystyle d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}}$

Определение: Оператор ${\displaystyle d+d^{*}}$ с вышеуказанной градуировкой соответственно вышеуказанный оператор ${\displaystyle D:\Omega _{+}(M)\rightarrow \Omega _{-}(M)}$ называется оператор подписи из ${\displaystyle M}$.^[2]

Определение в нечетномерном случае

В нечетномерном случае оператор сигнатуры определяется как ${\displaystyle i(d+d^{*})\tau }$ действуя на четномерные формы ${\displaystyle M}$.

Сигнатурная теорема Хирцебруха

Если ${\displaystyle l=2k}$, так что размерность ${\displaystyle M}$ делится на четыре, то Теория Ходжа означает, что:

${\displaystyle \mathrm {index} (D)=\mathrm {sign} (M)}$

где правая часть - это топологическая подпись (т.е. то подпись квадратичной формы на ${\displaystyle H^{2k}(M)\ }$ определяется чашка продукта ).

В Уравнение тепла подход к Теорема Атьи-Зингера об индексе затем можно использовать, чтобы показать, что:

${\displaystyle \mathrm {sign} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{l})}$

куда ${\displaystyle L}$ это L-многочлен Хирцебруха,^[3] и ${\displaystyle p_{i}\ }$ то Понтрягина формы на ${\displaystyle M}$.^[4]

Гомотопическая инвариантность высших индексов

Каминкер и Миллер доказали, что высшие индексы оператора сигнатуры гомотопически инвариантны.^[5]

Смотрите также

• Теорема Хирцебруха о сигнатуре
• Понтрягин класс
• Фридрих Хирцебрух
• Майкл Атья
• Исадор Сингер

Примечания

1. Атья и Ботт 1967
2. Атья и Ботт 1967
3. Хирцебрух 1995
4. Гилки 1973, Атья, Ботт и Патоди, 1973
5. Каминкер и Миллер 1985

Рекомендации

• Atiyah, M.F .; Ботт Р. (1967), "Формула Лефшеца неподвижной точки для эллиптических комплексов I", Анналы математики, 86 (2): 374–407, Дои:10.2307/1970694, JSTOR  1970694
• Atiyah, M.F .; Bott, R .; Патоди, В. (1973), "Об уравнении теплопроводности и теореме об индексе", Inventiones Math., 19 (4): 279–330, Дои:10.1007 / bf01425417
• Гилки, П. (1973), "Кривизна и собственные значения лапласиана для эллиптических комплексов", Успехи в математике, 10 (3): 344–382, Дои:10.1016/0001-8708(73)90119-9
• Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии, 4-е издание, Берлин и Гейдельберг: Springer-Verlag. Стр. 234, г. ISBN  978-3-540-58663-0
• Каминкер, Джером; Миллер, Джон Г. (1985), «Гомотопическая инвариантность аналитического индекса сигнатурных операторов над C * -алгебрами» (PDF), Журнал теории операторов, 14: 113–127