Скошенное нормальное распределение - Skew normal distribution
Функция плотности вероятности | |||
Кумулятивная функция распределения | |||
Параметры | расположение (настоящий ) масштаб (положительный, настоящий ) форма (настоящий ) | ||
---|---|---|---|
Поддержка | |||
CDF | является T функция Оуэна | ||
Значить | где | ||
Режим | |||
Дисперсия | |||
Асимметрия | |||
Ex. эксцесс | |||
MGF | |||
CF |
В теория вероятности и статистика, то асимметричное нормальное распределение это непрерывное распределение вероятностей это обобщает нормальное распределение разрешить ненулевое перекос.
Определение
Позволять обозначить стандартный нормальный функция плотности вероятности
с кумулятивная функция распределения данный
- ,
где "erf" - функция ошибки. Тогда функция плотности вероятности (pdf) косонормального распределения с параметром дан кем-то
Это распределение было впервые введено О'Хаганом и Леонардом (1976).[1] Аппроксимации этого распределения, которыми легче манипулировать математически, были даны Ашуром и Абдель-Хамидом.[2] и Мудхолкаром и Хатсоном.[3]
Стохастический процесс, лежащий в основе распределения, был описан Анделем, Нетука и Звара (1984).[4] И распределение, и его стохастические процессы, лежащие в основе, были следствием аргумента симметрии, развитого в Chan and Tong (1986),[5] который применяется к многомерным случаям за пределами нормального, например косое многомерное t-распределение и другие. Распределение является частным случаем общего класса распределений с функциями плотности вероятности вида f (x) = 2 φ (x) Φ (x) где φ () есть ли PDF симметричный относительно нуля и Φ () есть ли CDF чья PDF симметрична относительно нуля.[6]
Добавить расположение и масштаб параметры к этому, делается обычное преобразование . Можно убедиться, что нормальное распределение восстанавливается, когда , и что абсолютное значение перекос увеличивается с увеличением абсолютного значения увеличивается. Распределение смещено вправо, если и остается скошенным, если . Функция плотности вероятности с местоположением , масштаб , а параметр становится
Однако обратите внимание, что асимметрия () распределения ограничивается интервалом .
Как было показано,[7] режим (максимум) раздачи уникален. Для общего нет аналитического выражения для , но довольно точное (численное) приближение:
где и
Предварительный расчет
Максимальная вероятность оценки для , , и можно вычислить численно, но нет выражения в закрытой форме для оценок, если только . Если требуется выражение в закрытой форме, метод моментов может применяться для оценки от перекоса образца путем обращения уравнения перекоса. Это дает оценку
где , и - перекос образца. Знак это то же самое, что и знак . Вследствие этого, .
Максимальный (теоретический) перекос получается при установке в уравнении асимметрии, давая . Однако возможно, что асимметрия образца больше, и тогда не могут быть определены из этих уравнений. При использовании метода моментов в автоматическом режиме, например, чтобы дать начальные значения для итерации максимального правдоподобия, следует, таким образом, позволить (например) .
Была выражена озабоченность по поводу влияния методов искаженной нормальности на надежность основанных на них выводов.[8]
Связанные дистрибутивы
В экспоненциально модифицированное нормальное распределение - еще одно трехпараметрическое распределение, которое является обобщением нормального распределения на искаженные случаи. Нормаль перекоса по-прежнему имеет хвост, похожий на нормальный, в направлении перекоса, с более коротким хвостом в другом направлении; то есть его плотность асимптотически пропорциональна для некоторых положительных . Таким образом, с точки зрения семь состояний случайности, это показывает "правильную умеренную случайность". Напротив, экспоненциально измененная нормаль имеет экспоненциальный хвост в направлении перекоса; его плотность асимптотически пропорциональна . В тех же терминах он показывает «пограничную умеренную случайность».
Таким образом, косая нормаль полезна для моделирования перекошенных распределений, которые, тем не менее, имеют не больше выбросов, чем нормальное, в то время как экспоненциально измененная нормаль полезна для случаев с повышенной частотой выбросов в (только) одном направлении.
Смотрите также
использованная литература
- ^ О'ХАГАН, А .; ЛЕОНАРД, Том (1976). «Байесовская оценка с учетом неопределенности в отношении ограничений параметров». Биометрика. 63 (1): 201–203. Дои:10.1093 / biomet / 63.1.201. ISSN 0006-3444.
- ^ Ашур, Самир К .; Абдель-Хамид, Махмуд А. (октябрь 2010 г.). «Приблизительное косое нормальное распределение». Журнал перспективных исследований. 1 (4): 341–350. Дои:10.1016 / j.jare.2010.06.004. ISSN 2090-1232.
- ^ Mudholkar, Govind S .; Хатсон, Алан Д. (февраль 2000 г.). «Эпсилон – косое – нормальное распределение для анализа данных, близких к нормальным». Журнал статистического планирования и вывода. 83 (2): 291–309. Дои:10.1016 / s0378-3758 (99) 00096-8. ISSN 0378-3758.
- ^ Андел Дж., Нетука И. и Звара К. (1984) О пороговых процессах авторегрессии. Кибернетика, 20, 89-106
- ^ Chan, K. S .; Тонг, Х. (март 1986 г.). «Заметка о некоторых интегральных уравнениях, связанных с нелинейным анализом временных рядов». Теория вероятностей и смежные области. 73 (1): 153–158. Дои:10.1007 / bf01845999. ISSN 0178-8051. S2CID 121106515.
- ^ Аззалини, А. (1985). «Класс дистрибутивов, в который входят нормальные». Скандинавский статистический журнал. 12: 171–178.
- ^ Аззалини, Адельчи; Капитанио, Антонелла (2014). Асимметричные и родственные семейства. С. 32–33. ISBN 978-1-107-02927-9.
- ^ Пьюси, Артур. «Проблемы вывода для косого распределения Аззалини». Журнал прикладной статистики 27.7 (2000): 859-870
внешние ссылки
- Многовариантное косо-нормальное распределение с приложением к массе тела, росту и индексу массы тела
- Очень краткое введение в косонормальное распределение
- Косо-нормальное распределение вероятностей (и связанные с ним распределения, такие как перекос-t)
- Оуэнс: функция Т Оуэна
- Распределения с прямым наклоном - моделирование, инверсия и оценка параметров