Гладкая топология - Smooth topology

В алгебраической геометрии гладкая топология это определенный Топология Гротендика, что лучше, чем этальная топология. Его основное использование - определение когомологий алгебраический стек с коэффициентами, скажем, в этальном пучке ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$.

Чтобы понять проблему, которая мотивирует это понятие, рассмотрим классифицирующий стек ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ над ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$. потом ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$ в этальной топологии;^[1] то есть просто точка. Однако мы ожидаем «правильного» кольца когомологий ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ быть больше похожим на ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ поскольку кольцо должно классифицировать линейные пучки. Таким образом, когомологии ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ следует определять с использованием гладкой топологии для таких формул, как Формула Беренда с фиксированной точкой держать.

Примечания

1. Беренд, Предложение 5.2.9; в частности, доказательство. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBehrend (помощь)

Рекомендации

• Беренд, К. Производные l-адические категории для алгебраических стеков. Мемуары Американского математического общества Vol. 163, 2003.
• Лаумон, Жерар; Морэ-Байи, Лоран (2000), Champs algébriques, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, 39, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-65761-3, МИСТЕР  1771927 К сожалению, в этой книге используется неверное утверждение, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-étale topoi. Некоторые из этих ошибок были исправлены Ольссон (2007) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOlsson2007 (помощь).