Суперсимметричная калибровочная теория - Supersymmetric gauge theory

В теоретическая физика, есть много теорий с суперсимметрия (SUSY), которые также имеют внутренние калибровочные симметрии. Суперсимметричная калибровочная теория обобщает это понятие.

Калибровочная теория

Калибровочная теория - это математическая основа для анализа^{[сомнительный ]} калибровочные симметрии. Есть два типа симметрии: глобальная и локальная. А глобальная симметрия - симметрия, которая остается инвариантной в каждой точке многообразия (многообразие может быть любым из координаты пространства-времени или что из внутренние квантовые числа ). А локальная симметрия это симметрия, которая зависит от пространства, в котором она определена, и изменяется с изменением координат. Таким образом, такая симметрия инвариантна только локально (т.е. в окрестности многообразия).

Уравнения Максвелла и квантовая электродинамика являются известными примерами калибровочных теорий.

Суперсимметрия

В физика элементарных частиц, существуют частицы с двумя видами статистика частиц, бозоны и фермионы. Бозоны несут целочисленные значения спина и характеризуются способностью иметь любое количество идентичных бозонов, занимающих одну точку в пространстве. Таким образом, они отождествляются с силы. Фермионы несут полуцелые значения спина, и по Принцип исключения Паули, идентичные фермионы не могут занимать одну позицию в пространстве-времени. Они отождествляются с материей. Таким образом, SUSY считается сильным кандидатом на объединение излучения (бозон-опосредованных сил) и материи.

Этот механизм^{[который? ]} работает через оператора ${\displaystyle Q}$, известный как генератор суперсимметрии, который действует следующим образом:

${\displaystyle Q|{\text{boson}}\rangle =|{\text{fermion}}\rangle }$
${\displaystyle Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle }$

Например, генератор суперсимметрии может принять фотон в качестве аргумента и преобразовать его в фотино и наоборот. Это происходит посредством перевода в пространстве (параметра). Это суперпространство - это ${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$-градуированное векторное пространство ${\displaystyle {\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}}$, куда ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{0}}$ - бозонное гильбертово пространство и ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{1}}$ - фермионное гильбертово пространство.

Калибровочная теория SUSY

Мотивом для суперсимметричной версии калибровочной теории может быть тот факт, что калибровочная инвариантность согласуется с суперсимметрией. Первые примеры были обнаружены Бруно Зумино и Серджио Феррара, и независимо Абдус Салам и Джеймс Стратди в 1974 г.

Потому что как полуцелые спиновые фермионы, так и целочисленные спиновые бозоны могут стать калибровочными частицами. Более того, векторные поля и спинорные поля находятся в одном и том же представлении внутренней группы симметрии.

Предположим, у нас есть калибровочное преобразование ${\displaystyle V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A}$, куда ${\displaystyle V_{\mu }}$ - векторное поле и ${\displaystyle A}$ - калибровочная функция. Основная проблема при построении SUSY-калибровочной теории состоит в том, чтобы расширить указанное выше преобразование таким образом, чтобы оно согласовывалось с SUSY-преобразованиями.

Датчик Wess-Zumino обеспечивает успешное решение этой проблемы. Как только такая подходящая калибровка получена, динамика калибровочной теории SUSY работает следующим образом: мы ищем лагранжиан, который инвариантен относительно суперкалибровочных преобразований (эти преобразования являются важным инструментом, необходимым для разработки суперсимметричной версии калибровочной теории). Затем мы можем интегрировать лагранжиан, используя правила интегрирования Березина, и таким образом получить действие. Что в дальнейшем приводит к уравнениям движения и, следовательно, может обеспечить полный анализ динамики теории.

N = 1 SUSY в 4D (с 4-мя реальными генераторами)

В четырех измерениях минимальный N = 1 суперсимметрию можно записать с помощью суперпространство. Это суперпространство включает четыре дополнительных фермионных координаты ${\displaystyle \theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}}$, трансформируясь как двухкомпонентный спинор и его сопряженный.

Каждое суперполе, то есть поле, которое зависит от всех координат суперпространства, может быть расширено относительно новых фермионных координат. Существует особый вид суперполей, так называемые киральные суперполя, которые зависят только от переменных θ но не их конъюгаты (точнее, ${\displaystyle {\overline {D}}f=0}$). Однако вектор суперполе зависит от всех координат. Он описывает калибровочное поле и это суперпартнер, а именно Фермион Вейля что подчиняется Уравнение Дирака.

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)}$

V - векторное суперполе (предпотенциальный) и реально (V = V). Поля справа являются полями компонентов.

В калибровочные преобразования вести себя как

${\displaystyle V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}}$

куда Λ любое киральное суперполе.

Легко проверить, что киральное суперполе

${\displaystyle W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V}$

калибровочно инвариантно. Так его комплексное сопряжение ${\displaystyle {\overline {W}}_{\dot {\alpha }}}$.

Несуперсимметричный ковариантная калибровка который часто используется Датчик Весса – Зумино. Здесь, С, х, М и N все установлены на ноль. Остаточные калибровочные симметрии представляют собой калибровочные преобразования традиционного бозонного типа.

Киральное суперполе Икс с зарядом q трансформируется как

${\displaystyle X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X}$

Следовательно Иксе^−qVИкс калибровочно инвариантно. Здесь е^−qV называется мост так как он «соединяет» поле, которое преобразуется при Λ только с полем, которое преобразуется под Λ Только.

В более общем смысле, если у нас есть реальная калибровочная группа грамм что мы хотим суперсимметрично, мы сначала должны усложнять это к грамм^c ⋅ е^−qV затем действует компенсатор для сложных калибровочных преобразований, фактически поглощающих их, оставляя только реальные части. Это то, что делается в датчике Весса – Зумино.

Дифференциальные суперформы

Давайте перефразируем все, чтобы было больше похоже на обычный Ян – Миллс калибровочная теория. У нас есть U (1) калибровочная симметрия, действующая на полное суперпространство с 1-суперформной калибровочной связностью A. В аналитическом базисе для касательного пространства ковариантная производная определяется выражением ${\displaystyle D_{M}=d_{M}+iqA_{M}}$. Условия интегрируемости киральных суперполей с киральной связью

${\displaystyle {\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0}$

оставь нас с

${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.}$

Аналогичное ограничение для антихиральных суперполей оставляет нас с F_αβ = 0. Это означает, что мы можем либо исправить калибровку ${\displaystyle A_{\dot {\alpha }}=0}$ или же А_α = 0 но не оба одновременно. Назовите две разные схемы крепления калибра I и II соответственно. В калибровке I, ${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0}$ а в калибровке II d_α Икс = 0. Теперь уловка состоит в том, чтобы использовать два разных датчика одновременно; калибровка I для киральных суперполей и калибровка II для антихиральных суперполей. Чтобы мост между двумя разными датчиками нам нужно преобразование калибровки. Назови это е^−V (условно). Если бы мы использовали одну калибровку для всех полей, ИксИкс будет калибровочно-инвариантным. Однако нам нужно преобразовать калибр I в калибр II, преобразовав Икс к (е^−V)^qИкс. Итак, калибровочно-инвариантная величина равна Иксе^−qVИкс.

В калибровке I осталась остаточная калибровка е^Λ куда ${\displaystyle {\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0}$ а в калибровке II - остаточная калибровка е^Λ удовлетворение d_α Λ = 0. Под остаточными калибровками мост преобразуется как

${\displaystyle e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.}$

Без дополнительных ограничений мост е^−V не предоставит всю информацию о калибровочном поле. Однако с дополнительным ограничением ${\displaystyle F_{{\dot {\alpha }}\beta }}$, существует только одно уникальное калибровочное поле, совместимое с мостовым модулем калибровочных преобразований. Теперь мост дает точно такое же информационное содержание, что и поле датчика.

Теории с 8 или более генераторами SUSY (N > 1)

В теориях с более высокой суперсимметрией (и, возможно, более высокой размерностью) векторное суперполе обычно описывает не только калибровочное поле и фермион Вейля, но также по крайней мере один комплексный скалярное поле.

Смотрите также

• супер КХД
• сверхпотенциал
• D-срок
• F-срок
• текущее суперполе
• Минимальная суперсимметричная стандартная модель
• Суперсимметричная квантовая механика

Рекомендации

• Стивен П. Мартин. Праймер по суперсимметрии, arXiv:hep-ph / 9709356.
• Пракаш, Нирмала. Математический взгляд на теоретическую физику: путешествие от черных дыр к суперструнам, Всемирный научный (2003).
• Кульшрешта, Д. С .; Мюллер-Кирстен, Х. Дж. У. (1991). «Квантование систем с ограничениями: метод Фаддеева-Жакки против метода Дирака, применяемого к суперполям». Phys. Ред. D43, 3376-3383. Bibcode:1991ПхРвД..43.3376К. Дои:10.1103 / PhysRevD.43.3376.