Предельные теоремы Сегё - Szegő limit theorems

В математический анализ, то Предельные теоремы Сегё описать асимптотическое поведение детерминанты большого Матрицы Теплица.^[1][2][3] Впервые они были доказаны Габор Сегу.

Обозначение

Позволять φ : Т→C быть сложной функцией ("символ") на единичной окружности. Рассмотрим п×п Матрицы Теплица Т_п(φ), определяется

${\displaystyle T_{n}(\phi )_{k,l}={\widehat {\phi }}(k-l),\quad 0\leq k,l\leq n-1,}$

где

${\displaystyle {\widehat {\phi }}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\phi (e^{i\theta })e^{-ik\theta }\,d\theta }$

являются Коэффициенты Фурье из φ.

Первая теорема Сегё

Первая теорема Сегё^[1][4] заявляет, что если φ > 0 и φ ∈ L₁(Т), тогда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{\det T_{n-1}(\phi )}}=\exp \left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log \phi (e^{i\theta })\,d\theta \right\}.}$

(1)

Правая часть (1) это среднее геометрическое из φ (четко определено среднее арифметико-геометрическое неравенство ).

Вторая теорема Сегё

Обозначим правую часть (1) от г. Вторая (или сильная) теорема Сегё^[1][5] утверждает, что если, кроме того, производная от φ является Гёльдер непрерывный порядка α > 0, то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{G^{n}(\phi )}}=\exp \left\{\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {(\log \phi )}}(k)\right|^{2}\right\}.}$

использованная литература

1. Бёттчер, Альбрехт; Зильберманн, Бернд (1990). «Детерминанты Теплица». Анализ операторов Теплица. Берлин: Springer-Verlag. п. 525. ISBN  3-540-52147-X. Г-Н  1071374.
2. Ehrhardt, T .; Зильберманн, Б. (2001) [1994], "Szegö_limit_theorems", Энциклопедия математики, EMS Press
3. Саймон, Барри (2010). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория для L² Возмущения ортогональных многочленов.. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14704-8. Г-Н  1071374.
4. Сегё, Г. (1915). "Ein Grenzwertsatz über die Toeplitzschen Determinanten einer reellen positiven Funktion" (PDF). Математика. Анна. 76 (4): 490–503. Дои:10.1007 / BF01458220.
5. Сегё, Г. (1952). «О некоторых эрмитовых формах, связанных с рядом Фурье положительной функции». Comm. Sém. Математика. Univ. Лунд [Medd. Lunds Univ. Мат. Сем.]: 228–238. Г-Н  0051961.