Теорема Титце о продолжении - Tietze extension theorem

В топология, то Теорема Титце о продолжении (также известная как теорема о продолжении Титце – Урысона – Брауэра) утверждает, что непрерывные функции на закрытое подмножество из нормальное топологическое пространство может быть расширен на все пространство, при необходимости сохраняя ограниченность.

Официальное заявление

Если Икс это нормальное топологическое пространство и

{displaystyle f: A o mathbb {R}}

это непрерывный карта из закрытое подмножество А из Икс в действительные числа несущие стандартную топологию, то существует непрерывное отображение

{displaystyle F: X o mathbb {R}}

с F(а) = ж(а) для всех а в А. Более того, F можно выбрать так, чтобы ${displaystyle sup {| f (a) |: ain A} = sup {| F (x) |: xin X}}$ , т.е. если ж ограничен, F можно выбрать ограниченным (с той же оценкой, что и ж). F называется непрерывное расширение из ж.

История

Л. Э. Дж. Брауэр и Анри Лебег доказал частный случай теоремы, когда Икс является конечномерным вещественным векторное пространство. Генрих Титце распространил это на все метрические пространства, и Пол Урысон доказал сформулированную здесь теорему для нормальных топологических пространств.^[1]^[2]

Эквивалентные заявления

Эта теорема эквивалентна Лемма Урысона (что также эквивалентно нормальности пространства) и широко применимо, поскольку все метрические пространства и все компактный Хаусдорфовы пространства нормальные. Его можно обобщить, заменив р с р^J для некоторого набора индексации J, любой отзыв р^J, или любой нормальный абсолютный отказ что угодно.

Вариации

Если Икс метрическое пространство, А непустое подмножество Икс и ${displaystyle f: A o mathbb {R}}$ это Липшицева непрерывная функция с константой Липшица K, тогда ж продолжается до липшицевой функции ${displaystyle F: X o mathbb {R}}$ с той же постоянной KЭта теорема верна и для Непрерывные функции Гёльдера, то есть если ${displaystyle f: A o mathbb {R}}$ - непрерывная функция Гёльдера, ж продолжается до непрерывной функции Гёльдера ${displaystyle F: X o mathbb {R}}$ с той же константой.^[3]

Другой вариант (по сути, обобщение) теоремы Титце принадлежит З. Эркану:^[4]Позволять А замкнутое подмножество топологического пространства Икс. Если ${displaystyle f: X o mathbb {R}}$ - полунепрерывная сверху функция, ${displaystyle g: X o mathbb {R}}$ , - полунепрерывная снизу функция, а ${displaystyle h: A o mathbb {R}}$ непрерывная функция такая, что ж(Икс) ≤ грамм(Икс) для каждого Икс в Икс и ж(а) ≤ час(а) ≤ грамм(а) для каждого а в А, то существует непрерывное продолжение ${displaystyle H: X o mathbb {R}}$ из час такой, что ж(Икс) ≤ ЧАС(Икс) ≤ грамм(Икс) для каждого Икс в ИксЭта теорема верна также с некоторыми дополнительными гипотезами, если р заменяется общим локально твердым Пространство Рисса.^[4]