Альтернатива сисек - Tits alternative

В математика, то Альтернатива сисек, названный в честь Жак Титс, является важной теоремой о структуре конечно порожденный линейные группы.

Заявление

Теорема, доказанная Титсом,^[1] формулируется следующим образом.

Позволять ${displaystyle G}$ быть конечно порожденный линейная группа над полем. Тогда возникают две следующие возможности:

• либо ${displaystyle G}$ является практически разрешимый (т.е. имеет разрешимую подгруппа из конечный индекс )

• или он содержит неабелевский свободная группа (т.е. имеет подгруппа изоморфный в свободную группу на двух образующих).

Последствия

Линейная группа не послушный тогда и только тогда, когда он содержит неабелеву свободную группу (таким образом, гипотеза фон Неймана, хотя в общем случае это не так, но верно для линейных групп).

Альтернатива синицам - важный ингредиент^[2] в доказательство Теорема Громова о группах полиномиального роста. Фактически альтернатива, по существу, устанавливает результат для линейных групп (сводит его к случаю разрешимых групп, с которым можно справиться элементарными средствами).

Обобщения

В геометрическая теория групп, группа грамм говорят удовлетворить альтернативу Титса если для каждого подгруппа ЧАС из грамм либо ЧАС практически разрешима или ЧАС содержит неабелевский свободный подгруппа (в некоторых вариантах определения это условие требуется только для выполнения всех конечно порожденный подгруппы грамм).

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, которые либо нелинейны, либо, по крайней мере, не известны как линейные:

• Гиперболические группы
• Отображение групп классов;^[3][4]
• Выход (Fn);^[5]
• Определенные группы бирациональные преобразования из алгебраические поверхности.^[6]

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• то Григорчук группа;
• Группа Томпсона F.

Доказательство

Доказательство оригинальной альтернативы Титса^[1] глядя на Зариски закрытие из ${displaystyle G}$ в ${displaystyle mathrm {GL} _{n}(k)}$. Если она разрешима, то группа разрешима. Иначе смотрят на изображение ${displaystyle G}$ в компоненте Леви. Если он некомпактный, то настольный теннис Аргумент завершает доказательство. Если он компактный, то либо все собственные значения элементов в образе ${displaystyle G}$ являются корнями из единицы, и тогда образ конечен, или можно найти вложение ${displaystyle k}$ в котором можно применить стратегию пинг-понга.

Обратите внимание, что доказательство всех приведенных выше обобщений также опирается на аргументы в пользу пинг-понга.

Примечания

1. Титс, Дж. (1972). «Свободные подгруппы в линейных группах». Журнал алгебры. 20 (2): 250–270. Дои:10.1016/0021-8693(72)90058-0.
2. Титс, Жак (1981). "Группы на полиноме круассана". Séminaire Bourbaki (На французском). 1980/1981.
3. Иванов, Николай (1984). «Алгебраические свойства модулярной группы Тейхмюллера». Докл. Акад. АН СССР. 275: 786–789.
4. Маккарти, Джон (1985). «Альтернатива Титса» для подгрупп групп классов отображений поверхностей ». Пер. Амер. Математика. Soc. 291: 583–612. Дои:10.1090 / с0002-9947-1985-0800253-8.
5. Bestvina, Младен; Файн, Марк; Гендель, Майкл (2000). "Альтернатива сисек для Out (F_п) I: Динамика экспоненциально растущих автоморфизмов ». Анналы математики. 151 (2): 517–623. arXiv:математика / 9712217. Дои:10.2307/121043. JSTOR  121043.
6. Кантат, Серж (2011). "Sur les groupes de transformations birationnelles des surface". Анна. Математика. (На французском). 174: 299–340. Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.8.