Полная производная - Total derivative

В математика, то полная производная функции ж в какой-то момент лучший линейное приближение около этой точки функции по отношению к ее аргументам. В отличие от частные производные, полная производная приближает функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда ж является функцией нескольких переменных, потому что когда ж является функцией одной переменной, полная производная такая же, как производная функции.^{[1]:198–203}

«Полная производная» иногда также используется как синоним для материальная производная в механика жидкости.

Полная производная как линейное отображение

Позволять ${\displaystyle U\subseteq \mathbf {R} ^{n}}$ быть открытое подмножество. Тогда функция ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$ называется (полностью) дифференцируемый в какой-то момент ${\displaystyle a\in U}$ если существует линейное преобразование ${\displaystyle df_{a}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$ такой, что

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$

В линейная карта ${\displaystyle df_{a}}$ называется (Всего) производная или же (Всего) дифференциал из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$. Другие обозначения для полной производной включают: ${\displaystyle D_{a}f}$ и ${\displaystyle Df(a)}$. Функция (полностью) дифференцируемый если его полная производная существует в каждой точке его области определения.

Концептуально определение полной производной выражает идею, что ${\displaystyle df_{a}}$ наилучшее линейное приближение к ${\displaystyle f}$ в момент ${\displaystyle a}$. Это может быть уточнено путем количественной оценки ошибки линейного приближения, определяемой ${\displaystyle df_{a}}$. Для этого напишите

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

куда ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ равна ошибке аппроксимации. Сказать, что производная от ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$ является ${\displaystyle df_{a}}$ эквивалентно утверждению

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

куда ${\displaystyle o}$ является маленькая нотация и указывает, что ${\displaystyle \varepsilon (h)}$ намного меньше, чем ${\displaystyle \lVert h\rVert }$ так как ${\displaystyle h\to 0}$. Полная производная ${\displaystyle df_{a}}$ это уникальный линейное преобразование, для которого погрешность так мала, и в этом смысле это наилучшее линейное приближение к ${\displaystyle f}$.

Функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема тогда и только тогда, когда каждая ее составляющая ${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbf {R} }$ является дифференцируемым, поэтому при изучении полных производных часто можно работать по одной координате за раз в кодомене. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Это правда, что если ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle a}$, то каждая частная производная ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ существует в ${\displaystyle a}$. Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные от ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$ существуют, но ${\displaystyle f}$ не дифференцируема в ${\displaystyle a}$. Это означает, что функция очень "грубая" на ${\displaystyle a}$, до такой степени, что его поведение не может быть адекватно описано его поведением в координатных направлениях. Когда ${\displaystyle f}$ не так уж и грубо, этого не может быть. Точнее, если все частные производные от ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$ существуют и непрерывны в окрестности ${\displaystyle a}$, тогда ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle a}$. Когда это происходит, то, кроме того, полная производная от ${\displaystyle f}$ - линейное преобразование, соответствующее Матрица якобиана частных производных в этой точке.^[2]

Полная производная как дифференциальная форма

Когда рассматриваемая функция является действительной, полная производная может быть преобразована с использованием дифференциальные формы. Например, предположим, что ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$ дифференцируемая функция переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Полная производная от ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$ можно записать в терминах его матрицы Якоби, которая в данном случае является матрицей-строкой ( транспонировать из градиент ):

${\displaystyle df_{a}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},&\cdots &,&{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.}$

Из свойства линейной аппроксимации полной производной следует, что если

${\displaystyle \Delta x={\begin{pmatrix}\Delta x_{1},&\cdots &,&\Delta x_{n}\end{pmatrix}}^{T}}$

- небольшой вектор (где ${\displaystyle T}$ обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектором-столбцом), то

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}.}$

Эвристически это предполагает, что если ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$ находятся бесконечно малый увеличивается в направлениях координат, затем

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx_{i}.}$

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь является просто символическим, может быть дополнено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальные формы, эффективно давать аналитические и алгебраические описания объектов, например бесконечно малые приращения, ${\displaystyle dx_{i}}$. Например, ${\displaystyle dx_{i}}$ может быть вписан как линейный функционал в векторном пространстве ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$. Оценка ${\displaystyle dx_{i}}$ в векторе ${\displaystyle h}$ в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ измеряет, сколько ${\displaystyle h}$ точки в ${\displaystyle i}$-ое координатное направление. Полная производная ${\displaystyle df_{a}}$ представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сам является линейным функционалом. Оценка ${\displaystyle df_{a}(h)}$ измеряет, сколько ${\displaystyle h}$ указывает в направлении, определяемом ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$, и это направление - градиент. Эта точка зрения делает полную производную экземпляром внешняя производная.

Предположим теперь, что ${\displaystyle f}$ является векторнозначной функцией, т. е. ${\displaystyle f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}}$. В этом случае компоненты ${\displaystyle f_{i}}$ из ${\displaystyle f}$ являются действительными функциями, поэтому им соответствуют дифференциальные формы ${\displaystyle df_{i}}$. Полная производная ${\displaystyle df}$ объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторнозначная дифференциальная форма.

Цепное правило для полных производных

Основная статья: Правило цепи

Цепное правило имеет особенно элегантную формулировку в терминах полных производных. В нем говорится, что для двух функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, полная производная композитного ${\displaystyle g\circ f}$ в ${\displaystyle a}$ удовлетворяет

${\displaystyle d(g\circ f)_{a}=dg_{f(a)}\circ df_{a}.}$

Если полные производные от ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ отождествляются со своими матрицами Якоби, то композиция в правой части является простым умножением матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.

Пример: дифференциация с прямыми зависимостями

Предположим, что ж является функцией двух переменных, Икс и у. Если эти две переменные независимы, так что область определения ж является ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$, то поведение ж можно понимать в терминах его частных производных в Икс и у направления. Однако в некоторых ситуациях Икс и у может быть зависимым. Например, может случиться так, что ж ограничен кривой ${\displaystyle y=y(x)}$. В данном случае нас действительно интересует поведение составной функции ${\displaystyle f(x,y(x))}$. Частная производная от ж относительно Икс не дает истинной скорости изменения ж в отношении изменения Икс потому что изменение Икс обязательно меняет у. Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Написать ${\displaystyle \gamma (x)=(x,y(x))}$. Тогда цепное правило гласит

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\circ d\gamma _{x_{0}}.}$

Выражая полную производную с помощью якобианских матриц, получаем:

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).}$

Подавление оценки на ${\displaystyle x_{0}}$ для наглядности мы также можем написать это как

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.}$

Это дает простую формулу для производной от ${\displaystyle f(x,y(x))}$ в терминах частных производных от ${\displaystyle f}$ и производная от ${\displaystyle y(x)}$.

Например, предположим

${\displaystyle f(x,y)=xy.}$

Скорость изменения ж относительно Икс обычно является частной производной от ж относительно Икс; в таком случае,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Однако если у зависит от Икс, частная производная не дает истинной скорости изменения ж так как Икс изменяется, потому что частная производная предполагает, что у фиксированный. Предположим, мы ограничены линией

${\displaystyle y=x.}$

потом

${\displaystyle f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

и полная производная от ж относительно Икс является

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

которая, как мы видим, не равна частной производной ${\displaystyle \partial f/\partial x}$. Вместо немедленной замены у с точки зрения Иксоднако мы также можем использовать цепное правило, как указано выше:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Пример: дифференциация с косвенными зависимостями

Хотя часто можно выполнять замены для устранения косвенных зависимостей, Правило цепи обеспечивает более эффективную и общую технику. Предполагать ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$ это функция времени ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle n}$ переменные ${\displaystyle x_{i}}$ которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени от ${\displaystyle L}$ является

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.}$

Цепное правило выражает эту производную через частные производные от ${\displaystyle L}$ и производные по времени функций ${\displaystyle x_{i}}$:

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Это выражение часто используется в физика для калибровочное преобразование из Лагранжиан, как два лагранжиана, которые отличаются только полной производной по времени от функции времени и ${\displaystyle n}$ обобщенные координаты приводят к одним и тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинно-следственной связи Симметричная по времени теория Уиллера – Фейнмана. Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по отношению к ${\displaystyle t}$).

Например, полная производная от ${\displaystyle f(x(t),y(t))}$ является

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

Здесь нет ${\displaystyle \partial f/\partial t}$ срок с ${\displaystyle f}$ сам по себе не зависит от независимой переменной ${\displaystyle t}$ прямо.

Полное дифференциальное уравнение

Основная статья: Полное дифференциальное уравнение

А полное дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение выражается в виде общих производных финансовых инструментов. Поскольку внешняя производная безкоординатный, в том смысле, который может иметь технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрический.

Приложение к системам уравнений

В экономика, полная производная обычно возникает в контексте системы уравнений.^{[1]:стр. 217–220} Например, простой система спроса и предложения может указать количество q продукта, востребованного как функция D его цены п и доход потребителей я, последний экзогенная переменная, и может указывать количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и двух экзогенных переменных стоимости ресурсов р и ш. Полученная система уравнений

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

определяет рыночные равновесные значения переменных п и q. Полная производная ${\displaystyle dp/dr}$ из п относительно р, например, дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную р. В указанной системе всего шесть возможных полных производных, также известных в этом контексте как сравнительные статические производные: дп / доктор, дп / dw, дп / dI, dq / доктор, dq / dw, и dq / dI. Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений с делением, скажем, на доктор, лечение dq / доктор и дп / доктор как неизвестные, устанавливая dI = dw = 0, и решение двух полностью дифференцированных уравнений одновременно, обычно с использованием Правило Крамера.

Смотрите также

• Производная Фреше - обобщение полной производной

Рекомендации

1. Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-010813-7.
2. Авраам, Ральф; Марсден, Дж. Э.; Ратиу, Тюдор (2012). Многообразия, тензорный анализ и приложения. Springer Science & Business Media. п. 78.

• Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Чепмен и Холл / CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN  1-58488-297-2
• Из thesaurus.maths.org полная производная

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Полная производная». MathWorld.
• Рональд Д. Криз (2007) Представление полных производных скалярных функций двух измерений с использованием выступающих поверхностей и касательных плоскостей из Технологический институт Вирджинии