Модель Изинга с поперечным полем - Transverse-field Ising model

В поперечное поле модель Изинга квантовая версия классического Модель Изинга. Он имеет решетку с взаимодействиями ближайших соседей, определяемыми выравниванием или анти-выравниванием проекций спина вдоль ${\displaystyle z}$ оси, а также внешнего магнитного поля, перпендикулярного оси ${\displaystyle z}$ оси (без ограничения общности по ${\displaystyle x}$ ось), который создает энергетический сдвиг для одного направления вращения оси x относительно другого.

Важной особенностью этой установки является то, что в квантовом смысле проекция спина вдоль ${\displaystyle x}$ оси и проекции спина вдоль ${\displaystyle z}$ оси не коммутируют наблюдаемые величины. То есть их нельзя наблюдать одновременно. Это означает, что классическая статистическая механика не может описать эту модель, и необходима квантовая трактовка.

В частности, модель имеет следующий квантовый Гамильтониан:

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }Z_{i}Z_{j}+g\sum _{j}X_{j})}$

Здесь индексы относятся к узлам решетки, а сумма ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ выполняется по парам ближайших соседних сайтов ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$. ${\displaystyle X_{j}}$ и ${\displaystyle Z_{j}}$ являются представлениями элементов спиновой алгебры (матриц Паули в случае спина 1/2), действующих на спиновые переменные соответствующих узлов. Они противятся друг другу, если находятся на одном сайте, и ездят друг с другом, если находятся на разных сайтах. ${\displaystyle J}$ является префактором с размерностями энергии, и ${\displaystyle g}$ - еще один коэффициент связи, определяющий относительную напряженность внешнего поля по сравнению с взаимодействием ближайших соседей.

Фазы одномерной модели Изинга поперечного поля

Ниже обсуждение ограничивается одномерным случаем, когда каждый узел решетки представляет собой двумерный комплекс Гильбертово пространство (т.е. представляет собой частицу со спином 1/2). Для простоты здесь ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Z}$ нормированы на каждый из определителей -1. Гамильтониан обладает ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ группа симметрии, поскольку она инвариантна относительно унитарной операции переворачивания всех спинов в ${\displaystyle z}$ направление. Точнее, преобразование симметрии задается унитарным ${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$.

Одномерная модель допускает две фазы, в зависимости от того, нарушает ли основное состояние (в частности, в случае вырождения основное состояние, которое не является макроскопически запутанным состоянием) вышеупомянутое ${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$ спин-флип-симметрия. Знак ${\displaystyle J}$ не влияет на динамику, так как система с положительным ${\displaystyle J}$ могут быть отображены в системе с отрицательными ${\displaystyle J}$ путем выполнения ${\displaystyle \pi }$ вращение вокруг ${\displaystyle X_{j}}$ за каждый второй сайт ${\displaystyle j}$.

Модель может быть точно решена для всех констант связи. Однако в терминах спинов на месте решение обычно очень неудобно записывать явно в терминах переменных спина. Решение удобнее явно записывать в терминах фермионных переменных, определяемых формулой Преобразование Джордана-Вигнера, и в этом случае возбужденные состояния имеют простое квазичастичное или квази дырочное описание.

Заказанная фаза

Когда ${\displaystyle |g|<1}$, система находится в упорядоченной фазе. В этой фазе основное состояние нарушает симметрию переворота спина. Таким образом, основное состояние фактически двукратно вырождено. За ${\displaystyle J>0}$ эта фаза демонстрирует ферромагнитный заказ, а для ${\displaystyle J<0}$ антиферромагнитный заказ существует.

Именно, если ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ является основным состоянием гамильтониана, то ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle \equiv \prod _{j}X_{j}|\psi _{1}\rangle \neq |\psi _{1}\rangle }$ также является основным состоянием, и вместе ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ и ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ охватывают вырожденное пространство основного состояния. В качестве простого примера, когда ${\displaystyle g=0}$ и ${\displaystyle J>0}$, основными состояниями являются ${\displaystyle |\ldots \uparrow \uparrow \uparrow \ldots \rangle }$ и ${\displaystyle |\ldots \downarrow \downarrow \downarrow \ldots \rangle }$, то есть со всеми спинами, выровненными по ${\displaystyle z}$ ось.

Это фаза с зазором, означающая, что возбужденное состояние с наименьшей энергией имеет энергию, превышающую энергию основного состояния на ненулевую величину (не равную нулю в термодинамическом пределе). В частности, этот энергетический зазор равен ${\displaystyle 2|J|(1-|g|)}$.^[1]

Неупорядоченная фаза

Напротив, когда ${\displaystyle |g|>1}$система находится в неупорядоченной фазе. Основное состояние сохраняет симметрию переворота спина и является невырожденным. В качестве простого примера, когда ${\displaystyle g}$ бесконечность, основное состояние ${\displaystyle |\ldots \rightarrow \rightarrow \rightarrow \ldots \rangle }$, то есть со спином в ${\displaystyle +x}$ направление на каждом сайте.

Это также промежуточная фаза. Энергетическая щель составляет ${\displaystyle 2|J|(|g|-1)}$

Непрерывная фаза

Когда ${\displaystyle |g|=1}$, в системе происходит квантовый фазовый переход. При этом значении ${\displaystyle g}$, система имеет бесщелевые возбуждения, а ее поведение при низких энергиях описывается двумерной конформной теорией Изинга. Центральная роль в этой конформной теории ${\displaystyle c=1/2}$, и является простейшим из унитарных минимальные модели с центральным зарядом меньше 1. Помимо тождественного оператора, теория имеет два первичных поля, одно с масштабными размерностями ${\displaystyle (1/16,1/16)}$ и еще один с масштабируемыми размерами ${\displaystyle (1/2,1/2)}$.^[2]

Преобразование Джордана-Вигнера

Можно переписать спиновые переменные как фермионные переменные, используя сильно нелокальное преобразование, известное как преобразование Жордана-Вигнера.^[3]

Оператор создания фермионов на сайте ${\displaystyle j}$ можно определить как ${\displaystyle c_{j}^{\dagger }={\frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}}$. Тогда гамильтониан Изинга поперечного поля (предполагающий бесконечную цепочку и игнорирование граничных эффектов) может быть полностью выражен как сумма локальных квадратичных членов, содержащих операторы рождения и уничтожения.

${\displaystyle H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dagger }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}-2g(c_{j}^{\dagger }c_{j}-1/2))}$

Этот гамильтониан не сохраняет полное число фермионов и не имеет ассоциированного ${\displaystyle U(1)}$ глобальная непрерывная симметрия из-за наличия ${\displaystyle c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}}$ срок. Однако при этом сохраняется фермионная четность. То есть гамильтониан коммутирует с квантовым оператором, который указывает, является ли общее число фермионов четным или нечетным, и эта четность не меняется при эволюции системы во времени. Гамильтониан математически идентичен гамильтониану сверхпроводника в формализме Боголюбова деГенна среднего поля и может быть полностью понят таким же стандартным способом. Точный спектр возбуждения и собственные значения могут быть определены преобразованием Фурье в импульсное пространство и диагонализацией гамильтониана. В терминах майорановских фермионов ${\displaystyle a_{j}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}}$ и ${\displaystyle b_{j}=-i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})}$, гамильтониан принимает еще более простой вид:

${\displaystyle H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_{j})}$

Двойственность Крамерса-Ванье

Нелокальное отображение матриц Паули, известное как преобразование двойственности Крамерса-Ванье, может быть выполнено следующим образом:^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}}$$

Тогда в терминах вновь определенных матриц Паули с тильдами, которые подчиняются тем же алгебраическим соотношениям, что и исходные матрицы Паули, гамильтониан просто ${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j})}$. Это указывает на то, что модель с параметром связи ${\displaystyle g}$ двойственна модели с параметром связи ${\displaystyle g^{-1}}$, и устанавливает двойственность между упорядоченной фазой и неупорядоченной фазой. В терминах упомянутых выше майорановских фермионов эта двойственность более явно проявляется в тривиальном переименовании ${\displaystyle a_{j}\to b_{j},b_{j}\to a_{j+1}}$.

Обратите внимание, что есть некоторые тонкие соображения на границах цепи Изинга; в результате вырождение и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ Свойства симметрии упорядоченной и неупорядоченной фаз изменяются под действием дуальности Крамерса-Ванье.

Обобщения

Q-состояние квантовая модель Поттса и ${\displaystyle Z_{q}}$ модель квантовых часов являются обобщениями модели Изинга поперечного поля на решетчатые системы с ${\displaystyle q}$ состояния на сайте. Модель Изинга с поперечным полем представляет собой случай, когда ${\displaystyle q=2}$ .

Классическая модель Изинга

Квантовая модель Изинга поперечного поля в ${\displaystyle d}$ размеры двойственны анизотропной классическая модель Изинга в ${\displaystyle d+1}$ размеры.^[5]

Рекомендации

1. http://t1.physik.tu-dortmund.de/files/uhrig/master/master_Benedikt_Fauseweh_2012.pdf
2. Гинспарг, Пол (1988). «Прикладная теория конформного поля». arXiv:hep-th / 9108028.
3. http://edu.itp.phys.ethz.ch/fs13/cft/SM_Molignini.pdf
4. Радичевич, Джордже (2018). «Спиновые структуры и точные двойственности в малых размерностях». arXiv:1809.07757 [hep-th ].
5. (PDF) https://mcgreevy.physics.ucsd.edu/s14/239a-lectures.pdf. Отсутствует или пусто | название = (помощь)