Верхняя топология - Upper topology

В математика, то верхняя топология на частично заказанный набор Икс это грубейшая топология в которой закрытие из одиночка ${\displaystyle \{a\}}$ это раздел заказа ${\displaystyle a]=\{x\leq a\}}$ для каждого ${\displaystyle a\in X}$. Если ${\displaystyle \leq }$ частичный порядок, верхняя топология наименьшая порядок последовательный топология, в которой все открытые наборы находятся настроения. Однако не все комплекты обязательно должны быть открытыми. В нижняя топология индуцированный предпорядком определяется аналогично в терминах сеты. Предодер, порождающий верхнюю топологию, - это ее предварительный заказ специализации, но предварительный порядок специализации нижней топологии противоположен индуцирующему предварительному порядку.

Реальная верхняя топология наиболее естественно определяется на верхняя расширенная действительная линия ${\displaystyle (-\infty ,+\infty ]=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ по системе ${\displaystyle \{(a,+\infty ]:a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}}$ открытых наборов. Точно так же реальная нижняя топология ${\displaystyle \{[-\infty ,a):a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}}$ естественно определяется на нижней действительной прямой ${\displaystyle [-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$. Реальная функция на топологическое пространство является верхний полунепрерывный тогда и только тогда, когда он непрерывен снизу, т.е. непрерывный относительно нижней топологии на нижней продолженной линии ${\displaystyle {[-\infty ,+\infty )}}$. Точно так же функция в верхней действительной строке имеет вид нижний полунепрерывный тогда и только тогда, когда он непрерывен сверху, т.е. непрерывный относительно верхней топологии на ${\displaystyle {(-\infty ,+\infty ]}}$.

использованная литература

• Герхард Гирц; К.Х. Хофманн; К. Кеймель; Дж. Д. Лоусон; М. Мислав; Д. С. Скотт (2003). Непрерывные решетки и домены. Издательство Кембриджского университета. п.510. ISBN  0-521-80338-1.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология. Ван Ностранд Рейнхольд. п.101.
• Кнапп, Энтони В. (2005). Базовый реальный анализ. Биркххаузер. п. 481. ISBN  0-8176-3250-6.