Теорема Виноградова о среднем значении - Vinogradovs mean-value theorem - Wikipedia

В математике Теорема Виноградова о среднем значении оценка количества равных суммы полномочий.Это важное неравенство в аналитическая теория чисел, названный в честь Виноградов И. М..

В частности, пусть ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ подсчитать количество решений системы ${\displaystyle k}$ одновременный Диофантовы уравнения в ${\displaystyle 2s}$ переменные, заданные

${\displaystyle x_{1}^{j}+x_{2}^{j}+\cdots +x_{s}^{j}=y_{1}^{j}+y_{2}^{j}+\cdots +y_{s}^{j}\quad (1\leq j\leq k)}$

с

${\displaystyle 1\leq x_{i},y_{i}\leq X,(1\leq i\leq s)}$.

То есть подсчитывает количество равных сумм степеней с равным количеством членов (${\displaystyle s}$) и равных показателей (${\displaystyle j}$),вплоть до ${\displaystyle k}$th полномочия и до полномочий ${\displaystyle X}$. Альтернативное аналитическое выражение для ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ является

${\displaystyle J_{s,k}(X)=\int _{[0,1)^{k}}|f_{k}(\mathbf {\alpha } ;X)|^{2s}d\mathbf {\alpha } }$

куда

${\displaystyle f_{k}(\mathbf {\alpha } ;X)=\sum _{1\leq x\leq X}\exp(2\pi i(\alpha _{1}x+\cdots +\alpha _{k}x^{k})).}$

Теорема Виноградова о среднем дает верхняя граница по стоимости ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$.

Сильная оценка для ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ является важной частью Метод Харди-Литтлвуда для нападения Проблема Варинга а также для демонстрации нулевой свободной области для Дзета-функция Римана в критическая полоса.^[1] Были получены различные оценки для ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$, справедливо для разных относительных диапазонов ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle k}$. Классическая форма теоремы применима, когда ${\displaystyle s}$ очень большой с точки зрения ${\displaystyle k}$.

Анализ доказательств гипотезы Виноградова о среднем значении можно найти в докладе Бурбаки Семинаре Лилиан Пирс.^[2]

Нижние границы

Учитывая ${\displaystyle X^{s}}$ решения, где

${\displaystyle x_{i}=y_{i},(1\leq i\leq s)}$

можно видеть, что ${\displaystyle J_{s,k}(X)\gg X^{s}}$.

Более тщательный анализ (см. Vaughan ^[3] уравнение 7.4) дает нижнюю оценку

${\displaystyle J_{s,k}\gg X^{s}+X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)}.}$

Основная гипотеза и объявление о доказательстве

Основная гипотеза теоремы Виноградова о среднем состоит в том, что верхняя оценка близка к этой нижней. В частности, для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ у нас есть

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }+X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }.}$

Если

${\displaystyle s\geq {\frac {1}{2}}k(k+1)}$

это эквивалентно оценке

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }.}$

Аналогично, если ${\displaystyle s\leq {\frac {1}{2}}k(k+1)}$ гипотетическая форма эквивалентна оценке

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }.}$

Более сильные формы теоремы приводят к асимптотическому выражению для ${\displaystyle J_{s,k}}$, в частности для крупных ${\displaystyle s}$ относительно ${\displaystyle k}$ выражение

${\displaystyle J_{s,k}\sim {\mathcal {C}}(s,k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)},}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {C}}(s,k)}$ фиксированное положительное число, зависящее не более чем от ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle k}$, держит.

4 декабря 2015 г. Жан Бургейн, Киприан Деметер и Ларри Гут объявил доказательство теоремы Виноградова о среднем значении.^[4][5]

Связка Виноградова

Оригинальная теорема Виноградова 1935 г. ^[6] показал, что для фиксированных ${\displaystyle s,k}$ с

${\displaystyle s\geq k^{2}\log(k^{2}+k)+{\frac {1}{4}}k^{2}+{\frac {5}{4}}k+1}$

существует положительная постоянная ${\displaystyle D(s,k)}$ такой, что

${\displaystyle J_{s,k}(X)\leq D(s,k)(\log X)^{2s}X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+{\frac {1}{2}}}.}$

Хотя это был новаторский результат, он не соответствует всей предполагаемой форме. Вместо этого он демонстрирует предполагаемую форму, когда

${\displaystyle \epsilon >{\frac {1}{2}}}$.

Последующие улучшения

Подход Виноградова усовершенствовал Карацуба^[7] и Стечкин^[8] кто показал это для ${\displaystyle s\geq k}$ существует положительная постоянная ${\displaystyle D(s,k)}$ такой, что

${\displaystyle J_{s,k}(X)\leq D(s,k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\eta _{s,k}},}$

куда

${\displaystyle \eta _{s,k}={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-{\frac {1}{k}}\right)^{\left[{\frac {s}{k}}\right]}\leq k^{2}e^{-s/k^{2}}.}$

Отмечая, что для

${\displaystyle s>k^{2}(2\log k-\log \epsilon )}$

у нас есть

${\displaystyle \eta _{s,k}<\epsilon }$,

это доказывает, что гипотетическая форма верна для ${\displaystyle s}$ такого размера.

Далее метод может быть уточнен для доказательства асимптотической оценки

${\displaystyle J_{s,k}\sim {\mathcal {C}}(s,k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)},}$

для больших ${\displaystyle s}$ с точки зрения ${\displaystyle k}$.

В 2012 году Вули^[9] улучшил диапазон ${\displaystyle s}$ для которого имеет место гипотетическая форма. Он доказал, что для

${\displaystyle k\geq 2}$ и ${\displaystyle s\geq k(k+1)}$

и для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ у нас есть

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }.}$

Форд и Вули^[10] показали, что гипотетическая форма устанавливается для малых ${\displaystyle s}$ с точки зрения ${\displaystyle k}$. В частности, они показывают, что для

${\displaystyle k\geq 4}$

и

${\displaystyle 1\leq s\leq {\frac {1}{4}}(k+1)^{2}}$

для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$

у нас есть

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }.}$

Рекомендации

1. Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986). Теория дзета-функции Римана. Отредактировано и с предисловием Д. Р. Хит-Брауна (второе изд.). Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN  978-0-19-853369-6. МИСТЕР  0882550.
2. Пирс, Лилиан Б. (2017). «Теорема Виноградова о среднем значении [по Вули и Бургейну, Деметре и Гуту]». Séminaire Bourbaki. 69 (1134): 1–80. arXiv:1707.00119.
3. Воан, Роберт С. (1997). Метод Харди-Литтлвуда. Кембриджские трактаты по математике. 25 (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57347-4. МИСТЕР  1435742.
4. Бургейн, Жан; Деметра, Киприан; Гут, Ларри (2016). «Доказательство основной гипотезы теоремы Виноградова о среднем значении для степеней выше трех». Анна. математики. 184 (2): 633–682. arXiv:1512.01565. Дои:10.4007 / летопись.2016.184.2.7. HDL:1721.1/115568.
5. Бургейн, Жан (2016-01-29). «О среднем значении Виноградова». arXiv:1601.08173 [math.NT ].
6. Виноградов И. М. Новые оценки сумм Вейля // Докл. Акад. АН СССР 8 (1935), 195–198.
7. Карацуба, Анатолий (1973). «Среднее значение модуля тригонометрической суммы». Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (на русском). 37: 1203–1227. МИСТЕР  0337817.
8. Стечкин, Сергей Борисович (1975). «Средние значения модуля тригонометрической суммы». Труды Матем. Inst. Стеклова (на русском). 134: 283–309. МИСТЕР  0396431.
9. Вули, Тревор Д. (2012). "Теорема Виноградова о среднем значении через эффективное сравнение". Анна. математики. 175 (3): 1575–1627. arXiv:1101.0574. Дои:10.4007 / анналы.2012.175.3.12. МИСТЕР  2912712.
10. Форд, Кевин; Вули, Тревор Д. (2014). «О теореме Виноградова о среднем значении: сильное диагональное поведение через эффективное сравнение». Acta Math. 213 (2): 199–236. arXiv:1304.6917. Дои:10.1007 / s11511-014-0119-0. МИСТЕР  3286035.