Уравнение Ванье - Wannier equation

В Уравнение Ванье описывает квантово-механический проблема собственных значений в твердые вещества где электрон в зона проводимости и электронная вакансия (то есть дыра) внутри валентная полоса привлекают друг друга через Кулоновское взаимодействие. Для одного электрона и одной дырки эта задача аналогична проблеме Уравнение Шредингера из атом водорода; и связанное состояние решения называются экситоны. Когда радиус экситона простирается на несколько элементарные ячейки, он называется Экситон Ванье в отличие от Экситоны Френкеля размер которой сравним с элементарной ячейкой. Возбужденное твердое тело обычно содержит много электронов и дырок; это значительно изменяет уравнение Ванье. Полученное обобщенное уравнение Ванье может быть определено из однородной части уравнения полупроводниковые уравнения Блоха или уравнения люминесценции полупроводников.

Уравнение названо в честь Грегори Ванье.

Фон

Поскольку электрон и дырка имеют противоположные обвинения их взаимное кулоновское взаимодействие привлекательно. Соответствующие Уравнение Шредингера, в относительной координате ${\displaystyle \mathbf {r} }$, имеет ту же форму, что и атом водорода:

${\displaystyle -\left[{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2\mu }}+V(\mathbf {r} )\right]\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )\,,}$

с потенциалом, данным

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}\,.}$

Здесь, ${\displaystyle \hbar }$ это приведенная постоянная Планка, ${\displaystyle \nabla }$ - оператор набла, ${\displaystyle \mu }$ это уменьшенная масса, ${\displaystyle -|e|}$ (${\displaystyle +|e|}$) это элементарный заряд связанный с электрон (дыра), ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ это относительная диэлектрическая проницаемость, и ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума. Решения атом водорода описаны собственная функция ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {r} )}$ и собственная энергия ${\displaystyle E_{\lambda }}$ куда ${\displaystyle \lambda }$ это квантовое число, обозначающее различные состояния.

В твердом теле масштабирование ${\displaystyle E_{\lambda }}$ а размер волновой функции на порядки отличается от водородной задачи, поскольку относительная диэлектрическая проницаемость ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ примерно десять, а приведенная масса в твердом теле намного меньше, чем масса покоя электрона ${\displaystyle m_{e}}$, т.е. ${\displaystyle \mu \ll m_{e}}$. В результате радиус экситона может быть большим, а экситонный радиус энергия связи небольшой, обычно от нескольких до сотен мэВ, в зависимости от материала, по сравнению с эВ для водородной проблемы.^[1][2]

В Преобразованный Фурье версия представленного гамильтониана может быть записана как

${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k'} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {k} )\,,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {k} }$ электронный волновой вектор, ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }}$ кинетическая энергия и ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$, ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {k} )}$ являются преобразованиями Фурье ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$, ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {r} )}$, соответственно. Кулоновские суммы следует из теорема свертки и ${\displaystyle \mathbf {k} }$-представление полезно при введении обобщенного уравнения Ванье.

Обобщенное уравнение Ванье

В Ванье Уравнение можно обобщить, включив в возбужденную систему много электронов и дырок. Можно исходить из общей теории либо оптических возбуждений, либо излучения света в полупроводники которые можно систематически описать с помощью полупроводниковые уравнения Блоха (SBE) или уравнения люминесценции полупроводников (SLE) соответственно.^[1][3][4] В однородные части из этих уравнений дают уравнение Ванье в пределе низкой плотности. Следовательно, однородные части SBE и SLE обеспечивают физически значимый способ идентификации экситонов на произвольных уровнях возбуждения. Результирующий обобщенное уравнение Ванье является

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k'} )=\epsilon _{\lambda }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )\,,}$

где кинетическая энергия становится перенормированной

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }=E_{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '}V_{{\mathbf {k} }'-{\mathbf {k} }}\left(f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right)\,,}$

заселенностями электронов и дырок ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$ и ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$, соответственно. Они также изменяют кулоновское взаимодействие на

${\displaystyle V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\equiv (1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\,,}$

куда ${\displaystyle (1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })}$ ослабляет кулоновское взаимодействие за счет так называемого коэффициент заполнения фазового пространства это проистекает из Принцип исключения Паули предотвращение множественных возбуждений фермионов. Из-за фактора заполнения фазового пространства кулоновское притяжение становится отталкивающим для уровней возбуждений ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }+f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} }>1}$. В этом режиме обобщенное уравнение Ванье дает только несвязанные решения, которые следуют из экситонного Переход Мотта от привязанного к ионизированный электронно-дырочные пары.

При наличии электронно-дырочной плотности обобщенное уравнение Ванье не является Эрмитский больше. В результате проблема собственных значений имеет как левое и правое собственные состояния ${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )}$ и ${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )}$, соответственно. Они связаны через коэффициент заполнения фазового пространства, т.е. ${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )=\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )/(1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })}$. Левое и правое собственные состояния имеют одинаковое собственное значение ${\displaystyle E_{\lambda }}$ (что является действительным знаком для показанной формы), и они образуют полный набор ортогональных решений, поскольку

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\left[\phi _{\lambda }^{L}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{R}(\mathbf {k} )=\sum _{\mathbf {k} }\left[\phi _{\lambda }^{R}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{L}(\mathbf {k} )=\delta _{\lambda ,\nu }}$.

Уравнения Ванье также можно обобщить, чтобы включить эффекты рассеяния и экранирования, которые возникают из-за двухчастичные корреляции в рамках SBE. Это расширение также производит левое и правое собственное состояние, но их связь более сложна.^[4] чем представлено выше. Кроме того, ${\displaystyle E_{\lambda }}$ становится комплекснозначным, и мнимая часть ${\displaystyle E_{\lambda }}$ определяет продолжительность жизни резонанса ${\displaystyle \lambda }$.

Физически обобщенное уравнение Ванье описывает, как присутствие других электронно-дырочных пар изменяет связывание одной эффективной пары. В качестве основного следствия возбуждение имеет тенденцию ослаблять кулоновское взаимодействие и перенормировать одночастичные энергии в простейшей форме. После включения корреляционных эффектов можно дополнительно наблюдать экранирование кулоновского взаимодействия, дефазировку, вызванную возбуждением, и сдвиги энергии, вызванные возбуждением. Все эти аспекты важны при подробном объяснении экспериментов с полупроводниками.

Приложения

Из-за аналогии с проблемой водорода, собственные состояния нулевой плотности известны аналитически для любого объемного полупроводника, когда возбуждения близки к дну электронные группы изучаются.^[5] В наноструктурированный^[6] материалы, такие как квантовые ямы, квантовые провода, и квантовые точки, элемент кулоновской матрицы ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ сильно отклоняется от идеальных двумерных и трехмерных систем из-за конечных квантовое ограничение электронных состояний. Следовательно, нельзя аналитически решить уравнение Ванье с нулевой плотностью для таких ситуаций, но необходимо прибегать к численным методам расчета собственных значений. Вообще говоря, для всех полупроводниковых случаев возможны только численные решения, когда экситонные состояния решаются в возбужденном веществе. Дальнейшие примеры показаны в контексте Формула Эллиотта.

Смотрите также

• Экситоны
• Полупроводниковые уравнения Блоха
• Уравнения люминесценции полупроводников
• Формула Эллиотта
• Собственные значения и собственные векторы
• Квантовая яма
• Квантовая проволока
• Квантовая точка

Рекомендации

1. Haug, H .; Кох, С. В. (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников. (5-е изд.). World Scientific. п. 216. ISBN  9812838848.
2. Клингширн, К. Ф. (2006). Полупроводниковая оптика. Springer. ISBN  978-3540383451.
3. Кира, М .; Кох, С. (2006). «Многотельные корреляции и экситонные эффекты в спектроскопии полупроводников». Прогресс в квантовой электронике 30 (5): 155–296. DOI: 10.1016 / j.pquantelec.2006.12.002.
4. Кира, М .; Кох, С. В. (2011). Полупроводниковая квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097.
5. Эшкрофт, Нил У .; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  0-03-083993-9.
6. Пол Харрисон (26 сентября 2011 г.). Квантовые ямы, проволоки и точки: теоретическая и вычислительная физика полупроводниковых наноструктур. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-1-119-96475-9.