Параметризация Вейерштрасса – Эннепера - Weierstrass–Enneper parameterization

В математика, то Параметризация Вейерштрасса – Эннепера из минимальные поверхности это классический образец дифференциальная геометрия.

Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучал минимальные поверхности еще в 1863 году.

Устройства параметризации Вейерштрасса изготовление периодических минимальных поверхностей

Пусть ƒ и грамм - функции либо на всей комплексной плоскости, либо на единичном круге, где грамм является мероморфный и ƒ аналитический, так что где бы грамм имеет полюс порядка м, ж имеет ноль порядка 2м (или, что то же самое, такое, что произведение ƒграмм² является голоморфный ), и разреши c₁, c₂, c₃ быть константами. Тогда поверхность с координатами (Икс₁,Икс₂,Икс₃) минимален, где Икс_k определяются с использованием действительной части комплексного интеграла следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}$

Верно и обратное: каждой неплоской минимальной поверхности, определенной над односвязной областью, может быть дана параметризация этого типа.^[1]

Например, Поверхность Эннепера имеет ƒ (z) = 1, грамм(z) = г ^ м.

Параметрическая поверхность комплексных переменных

Модель Вейерштрасса-Эннепера определяет минимальную поверхность ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) на комплексной плоскости (${\displaystyle \mathbb {C} }$). Позволять ${\displaystyle \omega =u+vi}$ (комплексная плоскость как ${\displaystyle uv}$ пробел) запишем Матрица якобиана поверхности в виде столбца сложных записей:

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}$

Где ${\displaystyle f(\omega )}$ и ${\displaystyle g(\omega )}$ являются голоморфными функциями от ${\displaystyle \omega }$.

Якобиан ${\displaystyle \mathbf {J} }$ представляет собой два ортогональных касательных вектора поверхности:^[2]

${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}$

Нормаль к поверхности определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}$

Якобиан ${\displaystyle \mathbf {J} }$ приводит к ряду важных свойств: ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0}$. Доказательства можно найти в эссе Шармы: представление Вейерштрасса всегда дает минимальную поверхность.^[3] Производные можно использовать для построения первая фундаментальная форма матрица:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

и вторая основная форма матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}$

Наконец, точка ${\displaystyle \omega _{t}}$ на комплексной плоскости отображается в точку ${\displaystyle \mathbf {X} }$ на минимальной поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ к

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}$

куда ${\displaystyle \omega _{0}=0}$ для всех минимальных поверхностей в этой статье, кроме Минимальная поверхность Косты куда ${\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}$.

Встроенные минимальные поверхности и примеры

Классические примеры вложенных полных минимальных поверхностей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с конечной топологией включают плоскость, катеноид, то геликоид, а Минимальная поверхность Косты. Поверхность Косты включает Эллиптическая функция Вейерштрасса ${\displaystyle \wp }$:^[4]

${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$

${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$

куда ${\displaystyle A}$ является константой.^[5]

Геликатеноид

Выбор функций ${\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}$ и ${\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}$, получено однопараметрическое семейство минимальных поверхностей.

${\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$

${\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$

${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}$

${\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}$

Выбирая параметры поверхности как ${\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}$:

${\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}$

В крайних случаях поверхность представляет собой катеноид. ${\displaystyle (\alpha =0)}$ или геликоид ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$. Иначе, ${\displaystyle \alpha }$ представляет собой угол смешивания. Результирующая поверхность с областью, выбранной для предотвращения самопересечения, представляет собой цепную цепь, вращающуюся вокруг ${\displaystyle \mathbf {X} _{3}}$ ось по спирали.

Контактная линия, которая охватывает периодические точки на спирали, затем вращается вдоль спирали, чтобы получить минимальную поверхность.

Фундаментальная область (C) и трехмерные поверхности. Непрерывные поверхности сделаны из копий основного патча (R3)

Линии кривизны

Каждый элемент секунды можно переписать фундаментальная матрица как функция ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, Например

${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}$

И, следовательно, мы можем упростить вторую фундаментальную матрицу формы как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}$

Линии кривизны образуют четырехугольник области

Один из его собственных векторов

${\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}$

который представляет главное направление в сложной области.^[6] Таким образом, два основных направления в ${\displaystyle uv}$ пространство оказалось

${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2}$

Смотрите также

• Ассоциированная семья
• Брайант поверхность, найденное аналогичной параметризацией в гиперболическое пространство

Рекомендации

1. Dierkes, U .; Hildebrandt, S .; Küster, A .; Wohlrab, О. (1992). Минимальные поверхности. т. И. Спрингер. п. 108. ISBN  3-540-53169-6.
2. Andersson, S .; Hyde, S.T .; Larsson, K .; Лидин, С. (1988). «Минимальные поверхности и структуры: от неорганических и металлических кристаллов до клеточных мембран и биополимеров». Chem. Rev. 88 (1): 221–242. Дои:10.1021 / cr00083a011.
3. Шарма, Р. (2012). «Представление Вейерштрасса всегда дает минимальную поверхность». препринт arXiv. arXiv:1208.5689.
4. Лоуден, Д. Ф. (2011). Эллиптические функции и приложения. Прикладные математические науки. т. 80. Берлин: Springer. ISBN  978-1-4419-3090-3.
5. Abbena, E .; Salamon, S .; Грей, А. (2006). «Минимальные поверхности через комплексные переменные». Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica. Бока-Ратон: CRC Press. С. 719–766. ISBN  1-58488-448-7.
6. Hua, H .; Цзя, Т. (2018). «Проволочная резка двусторонних минимальных поверхностей». Визуальный компьютер. 34 (6–8): 985–995. Дои:10.1007 / s00371-018-1548-0.