Число Уомерсли - Womersley number - Wikipedia

В Число Уомерсли (α или же ${\displaystyle {\text{Wo}}}$) это безразмерное число в механика биожидкостей и динамика биожидкости. Это безразмерное выражение пульсирующий поток частота в связи с вязкие эффекты. Он назван в честь Джон Р. Уомерсли (1907–1958) за работу с кровотоком в артерии.^[1] Число Уомерсли важно для сохранения динамическое сходство при масштабировании эксперимента. Примером этого является увеличение сосудистой системы для экспериментального исследования. Число Уомерсли также важно для определения толщины пленки. пограничный слой чтобы увидеть, можно ли игнорировать эффекты входа.

Этот номер также называют Число Стокса, ${\displaystyle {\text{St}}}$, благодаря новаторской работе, проделанной Сэр Джордж Стоукс на Вторая проблема Стокса.

Вывод

Число Уомерсли, обычно обозначаемое ${\displaystyle \alpha }$, определяется соотношением

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$

куда L подходящий шкала длины (например радиус трубы), ω это угловая частота колебаний, и ν, ρ, μ являются кинематическая вязкость, плотность и динамическая вязкость жидкости соответственно.^[2] Число Уомерсли обычно записывается в бессильной форме.

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

В сердечно-сосудистой системе частота пульсаций, плотность и динамическая вязкость постоянны, однако Характерная длина, который в случае кровотока представляет собой диаметр сосуда, изменяется на три порядка величины (НОМ) между аортой и тонкими капиллярами. Таким образом, число Уомерсли изменяется из-за различий в размере сосудов в системе сосудистой сети. Число Уомерсли кровотока человека можно оценить следующим образом:

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

Ниже приведен список расчетных чисел Уомерсли в различных кровеносных сосудах человека:

Судно	Диаметр (м)	${\displaystyle \alpha }$
Аорта	0.025	13.83
Артерия	0.004	2.21
Артериола	3⋅10^-5	0.0166
Капиллярный	8⋅10^-6	4.43⋅10^-3
Венула	2⋅10-5	0.011
Вен	0.005	2.77
Полая вена	0.03	16.6

Его также можно записать в терминах безразмерных Число Рейнольдса (Re) и Число Струхаля (St):

${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.}$

Число Уомерсли возникает при решении линеаризованной Уравнения Навье – Стокса для колебательного течения (предположительно ламинарного и несжимаемого) в трубке. Он выражает отношение переходной или колебательной силы инерции к силе сдвига. Когда ${\displaystyle \alpha }$ мала (1 или меньше), это означает, что частота пульсаций достаточно мала, чтобы параболический профиль скорости имел время для развития в течение каждого цикла, и поток будет почти синхронизирован по фазе с градиентом давления и будет передаваться хорошее приближение Закон Пуазейля, используя мгновенный градиент давления. Когда ${\displaystyle \alpha }$ большой (10 или более), это означает, что частота пульсаций достаточно велика, чтобы профиль скорости был относительно плоским или пробкообразным, а средний поток отстает от градиента давления примерно на 90 градусов. Число Уомерсли, наряду с числом Рейнольдса, определяет динамическое подобие.^[3]

Толщина пограничного слоя ${\displaystyle \delta }$ которое связано с переходным ускорением, обратно пропорционально числу Уомерсли. В этом можно убедиться, если распознать число Уомерсли как квадратный корень из Число Стокса.^[4]

${\displaystyle \delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Stk} }}}\right),}$

куда L - характерная длина.

Механика биожидкости

В сети распределения потока, которая переходит от большой трубки к множеству маленьких трубок (например, сеть кровеносных сосудов), частота, плотность и динамическая вязкость (обычно) одинаковы по всей сети, но радиусы трубок меняются. Следовательно, число Уомерсли велико для крупных сосудов и мало для мелких. По мере того, как диаметр сосуда уменьшается с каждым делением, число Уомерсли вскоре становится совсем небольшим. Число Уомерсли стремится к 1 на уровне концевых артерий. В артериолах, капиллярах и венулах число Уомерсли меньше единицы. В этих областях сила инерции становится менее важной, и течение определяется балансом вязких напряжений и градиента давления. Это называется микроциркуляция.^[4]

Вот некоторые типичные значения числа Уомерсли в сердечно-сосудистой системе для собаки при частоте сердечных сокращений 2 Гц:^[4]

• Восходящая аорта - 13,2
• Нисходящая аорта - 11,5
• Брюшная аорта - 8
• Бедренная артерия - 3,5
• Каротидная артерия - 4,4
• Артериолы —0,04
• Капилляры - 0,005
• Венулы - 0,035
• Нижняя полая вена - 8,8
• Основная легочная артерия - 15

Утверждалось, что универсальные законы биологического масштабирования (степенные отношения, которые описывают изменение таких величин, как скорость метаболизма, продолжительность жизни, длина и т. Д., С массой тела) являются следствием необходимости минимизации энергии, фрактал природа сосудистых сетей и переход от высокого к низкому числу Уомерсли текут по мере продвижения от крупных сосудов к мелким.^[5]

Рекомендации

1. Уомерсли, Дж. Р. (март 1955 г.). «Метод расчета скорости, скорости потока и вязкого сопротивления в артериях, когда известен градиент давления». J. Physiol. 127 (3): 553–563. Дои:10.1113 / jphysiol.1955.sp005276. ЧВК  1365740. PMID  14368548.
2. Фунг, Ю. К. (1990). Биомеханика - движение, поток, стресс и рост. Нью-Йорк (США): Springer-Verlag. п. 569. ISBN  978-0-387-97124-7.
3. Николс, В. В., О'Рурк, М. Ф. (2005). Макдональдс кровоток в артериях (5-е изд.). Лондон (Англия): Ходдер-Арнольд. ISBN  978-0-340-80941-9.
4. Фунг, Ю. (1996). Биомеханика циркуляции. Springer Verlag. п. 571. ISBN  978-0-387-94384-8.
5. West GB, Brown JH, Enquist BJ (4 апреля 1997 г.). «Общая модель происхождения аллометрических законов шкалы в биологии». Наука. 276 (5309): 122–6. Дои:10.1126 / science.276.5309.122. PMID  9082983.